¿Qué es el grupo del cociente de los números verdaderos sobre los números racionales como un cociente de grupos? ¿Hay una manera común de representar el cociente $\frac{\mathbb{R}}{\mathbb{Q}}$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No hay una manera fácil de describir $\Bbb{R/Q}$, excepto en la forma trivial.
Este grupo no es una ordenó grupo, y es muy fácil demostrar que: para cada $x<y$ hay algún número racional $q$ tal que $y<x+q$.
Pero podemos decir aún más, sin asumir algún fragmento de el axioma de elección, ni siquiera podemos probar que el conjunto de $\Bbb{R/Q}$ puede ser linealmente ordenado (y no digamos bien ordenados). El axioma de elección viene de vez en cuando en este grupo, el contexto, porque si tenemos en cuenta la canónica homomorphism $x\mapsto x+\Bbb Q$, y luego considerar un inyectiva inversa, el rango de que la inversa no es medible subconjunto de $\Bbb R$.
Si suponemos el axioma de elección, y pensamos acerca de $\Bbb R$ $\Bbb Q$- espacio vectorial, entonces este cociente grupo es isomorfo a $\Bbb R$ nuevo. Para ver esto, observe que $\Bbb R$ se ha dimensión $2^{\aleph_0}$, por lo $\Bbb{R/Q}$ tiene dimensión $2^{\aleph_0}-1=2^{\aleph_0}$. Puesto que dos espacios vectoriales con la misma dimensión son isomorfos, sus aditivo grupos son isomorfos.
Pero, por supuesto, la existencia de ese isomorfismo requiere el uso del axioma de elección.
Otro hilo sobre este tema: la Visualización de cociente grupos: $\mathbb{R/Q}$
