Dimensión de$\operatorname{Hom}(V, W)$

Question

¿Cuál es la dimensión de la $\operatorname{Hom}(V, W)$ si al menos uno de lo dos espacios del vector $V, W$ es infinito dimensional? En el sentido de números.

Gracias

Answer 1

Depende ;-). Si cualquiera de $V$ o $W$ es cero-dimensional, tendremos $\def\Hom{\mathop{\mathrm{Hom}}}\Hom(V,W) = 0$, independientemente de la dimensión del espacio. Si ambos de $V$ $W$ tienen al menos uno-dimensional, y uno de ellos es infinito dimensional, $\Hom(V,W)$ es infinito dimensional también:

Así que supongamos $\dim V = \infty$, e $\dim W \ge 1$ primero, vamos a $\{v_n \mid n \in \mathbb N\}$ ser lineal independiente situado en $V$, $w_0 \in W \setminus \{0\}$. Entonces no son lineales mapas de $f_n \in \Hom(V,W)$ tal que $$ f_n(v_m) = \delta_{nm}w_0, \quad n,m \in \mathbb N $$ A continuación, $\{f_n \mid n \in \mathbb N\}$ es lineal independiente, como: Supongamos $\sum\alpha_n f_n = 0$ con sólo un número finito de $ \alpha_n\ne 0$. Aplicando esto a $v_m$ da $$ \alpha_m = \sum \alpha_n f_n(v_m) = 0(v_m) = 0. $$ Por lo $\dim\Hom(V,W) = \infty$.

Supongamos ahora $\dim V \ge 1$, $\dim W = \infty$, deje $v_0 \in V \setminus \{0\}$, e $\{w_n \mid n \in \mathbb N\}$ linealmente independientes en $W$. Hay lineal mapas de $g_n \in \Hom(V,W)$ tal que $$ g_n(v_0) = w_n, \quad n \in \mathbb N $$ A continuación, $\{g_n \mid n \in \mathbb N\}$ es lineal independiente: Supongamos $\sum\alpha_n g_n = 0$. Aplicando esto a $v_0$ da $$ 0 = 0(v_0) = \sum\alpha_n g_n(v_0) = \sum \alpha_n w_n $$ como el $w_n$ son independientes, tenemos $\alpha_n = 0$ todos los $n$. Por lo $\dim\Hom(V,W) = \infty$.

Answer 2

Tengo la prueba para el siguiente PDF. Es bastante largo y si puedo encontrar un buen lugar para subir, voy a añadir un enlace. Aquí está la respuesta con un esquema.

1. Si $\dim (V) = 0$ o $\dim (W) = 0$ $\dim (\hom (V, W)) = 0$ Esto sigue como $\hom (V, W)$ sólo contiene el cero transformar en cualquiera de los casos.
2. Si $\dim (V)$ es finito, a continuación, $\dim (\hom (V, W)) = \dim (V).\dim (W)$ , si $\dim (W)$ es finito o infinito. Para probar esto primero establecer que $\hom (F, W)$ es isomorfo a $W$, luego de que $\hom (V, W)$ es isomorfo a $\oplus_{\dim (V)}\hom (F, W)$
3. Si $\dim (V)$ es infinito y $\dim (W) \ne 0$ $\dim (\hom (V, W)) = |W|^{\dim (V)}$ (Esto tiene una simple corolario de que para el dual $V^* = \hom (V, F)$ que $\dim (V^*) = |F|^{dim (V)}$, lo que confirma un infinito espacio tridimensional $\dim (V^*) > \dim (V)$). La prueba es indirecta. (a) establecer para cualquier infinito espacio tridimensional $U$ que $|U| = |F|.\dim (U)$. (b) Establecer que el $\dim (\hom (V, W))$ es infinito. (c) Establecer para cualquier (no-cero-dimensional) $V, W$ que $|\hom (V, W)| = |W|^{\dim (V)}$. (d) Establecer que el $\dim (\hom (V, W)) \ge |F|$. (e) poner todo eso en su conjunto, de modo que $|\hom (V, W)| = |W|^{\dim (V)} = |F|.\dim (\hom (V, W)) = \dim (\hom (V, W)$