Oscilación y continuidad de Hölder

Question

Estoy estudiando la demostración de un teorema. Y tengo la siguiente situación en la prueba:

Considere $\Omega$ es un conjunto abierto acotado de $\mathbb R^n$ y $u: \Omega \to \mathbb R$ es una función que satisface

$$\operatorname{osc}_{B(x_0,R)} u \leq (1-\delta) \operatorname{osc}_{B(x_0,4R)},$$ para todos ${B(x_0,R)} \subset \Omega$ para algunos $0<\delta <1$ ( $\delta$ es independiente de la bola abierta).

El libro dice: Iterando esta desigualdad tenemos que $u$ es continua de Hölder.

Alguien puede ayudarme a entender la prueba en la parte de la "Iteración".

Gracias.

Answer 1

Prefiero escribir la desigualdad como $$\operatorname{osc}_{B(x_0,4^{-1}R)} u \leq (1-\delta) \operatorname{osc}_{B(x_0,R)} \tag1$$ La iteración significa que aplicando (1) con $B(x_0,R)$ sustituido por $B(x_0,4^{-1}R)$ y se sustituye por $B(x_0,4^{-2}R)$ etc., y luego encadenar estas desigualdades. Así, $$\operatorname{osc}_{B(x_0,4^{-2}R)} u \leq (1-\delta) \operatorname{osc}_{B(x_0,4^{-1}R)} u \leq (1-\delta)^2 \operatorname{osc}_{B(x_0,R)} \tag2$$ y en general, $$\operatorname{osc}_{B(x_0,4^{-k}R)} u \leq (1-\delta)^k \operatorname{osc}_{B(x_0,R)} \tag3$$

La desigualdad (3) puede escribirse en la forma de la condición de Hölder. En efecto, dejemos que $\alpha>0$ sea el número tal que $(1-\delta)=4^{-\alpha}$ . Dado $x$ cerca de $x_0$ , dejemos que $k$ sea el número entero tal que $4^{-k-1}\le |x-x_0|< 4^{-k}R $ . Por (3), $$|u(x)-u(x_0)|\le (1-\delta)^k \operatorname{osc}_{B(x_0,R)} \le C |x-x_0|^\alpha \tag4$$ donde $C=4^\alpha \operatorname{osc}_{B(x_0,R)}$ es independiente de $x$ . Así, $u$ es continua de Hölder.