derivada de la suma de $x^n/(n+2)^2$

Question

Estoy escribiendo un trabajo de investigación y me he tropezado con un problema.

Tengo que evaluar

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{(n+2)^2}$$

Aquí es lo que yo hice:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1} = \frac{1}{1-x}$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} x^{n+1} = \frac{x^2}{1-x}$$

Integrar de una vez con respecto a $x$.

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{n+2} = \frac{3}{2} - \frac{x^2}{2} - x - \log(1-x)$$

Dividir por $x$

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+2} = \frac{3}{2x} - \frac{x}{2} - 1 - \frac{\log(1-x)}{x}$$

Integrar la expresión de nuevo;

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{(n+2)^2} = \frac{3\log(x)}{2} - x - \frac{x^2}{4} + Li_2(x)$$

Todo lo que tenemos que hacer es dividir por $x^2$

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{(n+2)^2} = \frac{3\log(x)}{2x^2} - \frac{1}{x} - \frac{1}{4} + \frac{Li_2(x)}{x^2} = \frac{4Li_2(x) - x^2 - 4x + 6\log(x)}{4x^2}$$

El problema es WolframAlpha la devuelve como:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{(n+2)^2} = \frac{4Li_2(x) - x^2 - 4x}{4x^2}$$

¿Por qué es la forma en que lo hice, mal? Tengo una extraña, registro extra plazo.?

Se agradece la ayuda.

Answer 1

No estoy seguro de lo que usted hizo, pero todo ese trabajo parece algo tonto para llegar a su resultado.

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{(n+2)^2}=\frac{1}{x^2}\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n+2}}{(n+2)^2}=\frac{1}{x^2}(-x-\frac{x^2}{4}+\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n^2})=\frac{1}{x^2}(-x-\frac{x^2}{4}+\text{Li}_2(x))$$

Answer 2

En algún lugar en su pregunta, se escribe "Integrar de una vez con respecto a $x.$". En la ecuación siguiente frase, que tienen un $\frac{3}{2}$ en la r.h.s. Eso es superfluo. Los derivados de la l.h.s. y la r.h.s son iguales, y el establecimiento $x=0,$ nos encontramos con que la constante de integración es $0.$