Extensiones de Galois y $n^{\text{th}}$ Raíces

Question

He estado estudiando para mi prelims últimamente, y este problema me tiene atascado:

(a) Deje $K$ ser un campo sin abelian extensiones de Galois. Supongamos que $n$ es un entero positivo y sea $char(K)=0$ o de la característica es relativamente primer a $n$. Demostrar que todo elemento de a $K$ $n^\text{th}$ raíz en $K$.

(b) Es la declaración sigue siendo cierto si $n$ no es primo relativo a la característica de $K$?

Para la parte $(a)$, yo estaba pensando en el polinomio $f(x)=x^n-a$ para un determinado $a\in K$. Si tiene una raíz en $K$, $a$ $n^\text{th}$ raíz. Yo no era capaz de hacer mucho más que esto, sólo sé algunas condiciones cuando el polinomio es irreducible, que no necesariamente dicen nada acerca de las raíces. Como parte $(b)$, estoy bastante seguro de...

Answer 1

Si un campo no tiene abelian extensiones de Galois también no tiene solución extensiones de Galois. Esto resuelve la parte a) puesto que (con la característica de la asunción) el grupo de Galois de $t^n - a$ es solucionable.

Como para la parte b), empezar con un imperfecto campo como el de la $\mathbb{F}_p(t)$ y, a continuación, pasar a su separables de cierre. Este campo es separadamente cerrados, así que no tiene trivial extensiones de Galois período, pero no algebraicamente cerrado. Cada elemento de la clausura algebraica se obtiene mediante la toma de $p^n$th raíces de los elementos de su campo de tierra, por lo que vas a encontrar un contraejemplo aquí.

Answer 2

Este es sólo un caso especial de extensiones de Kummer. Si $a\not\in K^n$, donde la hipótesis de aplicar, a continuación, $K(\sqrt[n]{a})/K$ es un Kummer extensión. Estos son todos los abelian.