La desigualdad relacionada con el cóncavo de la propiedad

Question

Suponga que $f>0,f'<0$ $f$ es logconcave(el registro de $f$ es cóncava) y dos veces diferenciable. Podemos probar, o dar un contraejemplo a la siguiente afirmación:

existe $\bar x>0$ tal que $F(x)=f(x)+xf'(x)\leq 0$ todos los $x>\bar x$?

He estado luchando con esto todo el día... Cualquier ayuda es muy apreciada.

Edit: he sido capaz de probar que $F$ es quasiconcave. No sé si esto ayuda.

Answer 1

Desde $f$ es logconcave y $f>0$, podemos escribir $f(x)=e^{g(x)}$ donde $g$ es cóncava. Obviamente, $f'<0$ es equivalente a $g'<0$. Tenga en cuenta que

$$F(x):=f(x)+x f'(x) \leq 0$$

si, y sólo si, $$\log(f(x)) \leq \log(-x \cdot f'(x))$$ by the monotonicity of the logarithm. Using that $f(x)=e^{g(x)}$, we see that this is equivalent to $$x^{-1} \leq -g'(x).$$

Esto significa que es suficiente para mostrar que $$-x^{-1} \geq g'(x)$$ for $x$ sufficiently large. This follows from the following lemma (set $h=g'$ and recall that $g'$ is decreasing as $g$ es cóncava):

Lema Deje $h:(0,\infty) \to (-\infty,0)$ ser un monoton función decreciente. Entonces $$h(x) \leq - \frac{1}{x}$$ for $$ x suficientemente grande.

Prueba: elija cualquiera de los $x_0>0$.Luego, por supuesto,$h(x_0)<0$. En particular, $h(x) \leq h(x_0)<0$$x \geq x_0$. Desde $-\frac{1}{x} \uparrow 0$$x \to \infty$, tenemos $$- \frac{1}{x} \geq h(x_0) \geq h(x)$$ for $x \geq x_1$ lo suficientemente grande.