Subconjuntos de $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ con al menos 1 impar y 1 número

Question

¿Cómo puedo escribir formalmente el número de subconjuntos de $S=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ con al menos 1 impar y el 1 número?

Si tomo el subconjunto con números, $E =\{2,4,6,8\}$, hay $2^4-1$ subconjuntos con números pares (excluyendo $Ø$) y el mismo número para un el subconjunto impar, $O$, y multiplicando estas juntos me da una respuesta exacta. Pero no estoy muy satisfecho porque esto no es muy formal, y no sé cómo mostrar esto con los símbolos matemáticos adecuados.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Todos no vacía de subconjuntos es $2^8 - 1$. Hay $2^4 - 1$ no vacía de subconjuntos que consistan sólo de números, y $2^4 - 1$ no los vacíos que sólo tienen números impares. Estas son mutuamente exclusivos sets.

Nos restan estos 2 últimos de la primera para llegar a la respuesta correcta. Esta fue mi primera aproximación.

Su respuesta también es correcto, cualquier buen conjunto puede ser visto como un único distinto de la unión de un no-vacío, incluso, y un conjunto no vacío extraño conjunto. Podemos recoger de forma independiente, por lo que se multiplican.

Ambos vienen a 225.

Answer 2

Lo que usted dijo que el uso de las palabras es bastante formal suficiente.

Simbólicamente, usted desea:

$$\begin{align} &\quad\Bigl|\mathcal P(\{1,2,3,4,5,6,7,8\})\setminus \bigl(\{\varnothing\}\cup\mathcal P(\{1,3,5,7\})\cup\mathcal P(\{2,4,6,8\})\bigr)\Bigr| \\ &= \Bigl|\mathcal P(\{1,2,3,4,5,6,7,8\})\Bigr| - \Bigl(\bigl|\mathcal P(\{1,3,5,7\})\bigr|+\bigl|\mathcal P(\{2,4,6,8\})\setminus\{\varnothing\}\bigr|\Bigr) \\ &= 2^8-(2^4+2^4-1) \\ &= 2^8-2^5+1 \end{align}$$

Que es un poco más compacto, pero transmite el mismo razonamiento.

Answer 3

Su respuesta es absolutamente bien. Si usted quiere ser riguroso, observe las siguientes propiedades:

1. La unión de cualquier no-vacío es subconjunto de a $\{1,3,5,7\}$ $\{2,4,6,8\}$ es un subconjunto de a$\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, con al menos uno y uno impar de miembros. (Es decir: "Su método sólo los recuentos de elementos en el conjunto deseado")
2. Cualquier subconjunto de a$\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, con al menos uno y uno impar de miembros puede escribirse de forma única como una unión de no vacía de subconjuntos de a $\{1,3,5,7\}$ $\{2,4,6,8\}$ - explícitamente, nos encontramos con esta tomando un subconjunto $S$ con la propiedad deseada y la intersección con $\{1,3,5,7\}$, por ejemplo. (Esto es: "Cada elemento se calcula por el método" y la singularidad da "Ningún elemento se cuentan dos veces")

Este establece que su argumento cuenta cada conjunto con la propiedad deseada exactamente una vez y de ahí se obtiene la respuesta correcta.