¿Existen tales funciones? ¿Si no es así, es apropiado pensar en funciones analíticas verdaderas como "trozos" de funciones holomorphic?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Si $f(x)$ es analítica en un punto de $a \in \mathbb R$, entonces su serie de Taylor tiene un valor distinto de cero radio de convergencia, es decir $R$,$a$, y por lo que en realidad converge en el disco de radio $R$$a$$\mathbb C$. Por lo tanto $f(x)$ siempre se extiende analítica a algunos complejo n.h. de $a$. De ahí que podamos encontrar algunos complejo abierto n.h. del dominio de $f$ sobre la que se extiende.
Así que sí, es razonable pensar en un verdadero analítica de la función como una restricción a $\mathbb R \cap U$ real de una analítica de la función de un complejo conjunto abierto $U$.
Este punto de vista es importante en los más avanzados de la teoría de tales funciones (por ejemplo, en la teoría de la hyperfunctions y análisis microlocal).
Jake Basile
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Si $f$ es real analítica en un intervalo abierto $(a,b)$. Luego, en cada punto de $x_0\in (a,b)$, no es una potencia de la serie $P_{x_0}(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ con radio de convergencia $r(x_0)>0$ tal que $f(x)=P_{x_0}(x)$ todos los $x$$(a,b)\cap \{x:|x-x_0|<r\}$. A continuación, $f$ puede ser extendido a un vecindario $B(x_0,r(x_0))$ $x_0$ $\mathbb{C}$ por el poder de la serie de $P_{x_0}(z)$. Ahora vamos a $O\subset \mathbb{C}$ ser la unión de estas bolas $B(x_0,r(x_0), x_0\in (a,b)$. Definir $F(z), z\in O$ tal que $F(z)=P_{x_0}(z)$ si $z\in B(x_0,r(x_0))$ (para algunos $x_0\in (a,b)$). Esto está bien definido desde cualquiera de las dos funciones analíticas que ponerse de acuerdo sobre un conjunto con la acumulación de puntos en la conexión de un conjunto abierto debe ser idénticamente iguales. Por lo $F$ es una extensión de $f$ a un conjunto abierto en $\mathbb{C}$ contiene $(a,b)$. Ya que cada conjunto abierto en $\mathbb{R}$ es una contables de la unión de distintos intervalos abiertos, $f$ puede extenderse si su dominio está abierto en $\mathbb{R}$.
