Propiedad fuerte de Markov - Durrett

Question

Recientemente he tenido un gran éxito con mi primera pregunta aquí, así que voy a llegar en un segundo. Aquí va:

Estoy estudiando las Cadenas de Markov en Rick Durrett - Probabilidad: Teoría y ejemplo y estoy atascado con la definición de la fuerte de markov de la propiedad - sé más o menos de lo que debería ser, pero no entiendo su manera de decir. Voy a dar un montón de información, espero que sea suficiente, pero por favor, pregunte para más si lo necesita.

Algunas definiciones: Tenemos un poco de niza (1-1 mapa entre S y R) espacio medible $(S,\mathcal{S)}$ y a continuación definimos $$\Omega=\{{(\omega_{1},\omega_{2},...):\omega_{i}\in\text{}S}\}$$ $$\mathcal{F}=\mathcal{S}\times\mathcal{S}\times...$$ $$P=\mu\times\mu\times...\text{where }\mu\text{ is the distribution of }X_{i}$$ $$X_{n}(\omega)=\omega_{n}$$

Tenemos $$P(X_{j}\in B_{J},0\leq j \leq n)=\int_{B_{0}}\mu(dx_{0})\int_{B_{1}}p(x_{0},dx_{1})...\int_{B_{n}}p(x_{n-1},dx_{n})$$ Donde p son las probabilidades de transición (de fijo x (primera variable) es una medida de probabilidad y fija (segunda variable) una función medible). La probabilidad de medida es coherente para la prueba de Kolmogorov extensión del teorema nos da el infinito (como yo lo entiendo).

Su definición es entonces de la siguiente manera:

Supongamos que para cada n, $Y_{n}:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ es medible y $|Y_{n}|\leq M\; \forall n$ $$E_{\mu}(Y_{N}\circ\theta_{N}|\mathcal{F}_{N})=E_{X_{N}}Y_{N}\quad on\:\{N<\infty\}$$ N es un stoptime y theta de un operador de desplazamiento ("gotas de los N primeros elementos de los ácidos grasos omega-secuencia")

Así que yo sé que estoy siendo un poco impreciso aquí - creo que sé lo que todos los elementos del teorema son, pero tienen problemas de contarlas. Espero que alguien se tome la molestia de ayudar.

Gracias de antemano, Henrik

Actualización v3.b:

Casi me lo imaginé, voy a actualizar con mis conclusiones dentro de poco (espero que a alguien le importa).

Así que todavía tengo algunos problemas; alguien me puede ayudar con estas nociones: $P_{x}=P_{\delta_{x}}$ , ¿por qué $P_{\mu}(A)=\int P_{x}(A)\, \mu(dx)$ e lo $E_{X_{n}}$ ve como explícitamente.

Answer 1

Las cadenas de Markov son irrelevantes aquí por lo tanto debemos concentrarnos en el fuerte de Markov de la propiedad. Inicio de cualquier proceso de $(Z_n)_{n\geqslant0}$ (esto es sólo una colección de variables aleatorias definidas sobre el mismo espacio de probabilidad) y llame a $F_n$ sigma-álgebra generada por $(Z_k)_{k\leqslant n}$.

Entonces, la simple propiedad de Markov es pedir que $$ \mathrm E(\varphi(Z_n,Z_{n+1},Z_{n+2},\ldots)\mediados de F_n)=\mathrm E(\varphi(Z_n,Z_{n+1},Z_{n+2},\ldots)\mediados de X_n), $$ casi seguramente, para cada $n\geqslant0$, y para todos (por ejemplo) acotado medible función de $\varphi$.

Asimismo, el fuerte de Markov propiedad es pedir que $$ \mathrm E(\varphi(Z_T,Z_{T+1},Z_{T+2},\ldots)\mediados de F_T)=\mathrm E(\varphi(Z_T,Z_{T+1},Z_{T+2},\ldots)\mediados de X_T), $$ casi con toda seguridad, en el caso de $[T\lt\infty]$, para cada (por ejemplo) acotado medible función de $\varphi$, y para cada tiempo de parada de las $T$. (En este punto, supongo que usted sabe lo que es un tiempo de paro $T$ es y lo que el sigma-álgebra $F_T$ generado por un tiempo de paro $T$ es.)

Puesto que las constantes son los tiempos de parada, el fuerte de Markov de propiedad implica la simple propiedad de Markov. Para los procesos en tiempo discreto, las dos nociones coinciden (pero se advirtió que este ya no es el caso para los procesos en tiempo continuo).