Probar que cada entero $n\geq 7$ puede expresarse como la suma de números primos distintos.

Question

Mi maestro dice que el uso de Bertrand postulado y he intentado esto por tanto tiempo y me parecen ir a ninguna parte. Ayuda sería apreciada.

EDIT: Aquí está lo que he hecho en mi prueba de lo lejos (necesito ayuda finalizando caso 2)

En primer lugar observamos que para $p_0=13$, podemos expresar todos los números enteros $7 \leq n \leq 2p_0=26$ como una suma de distintos números primos menores o iguales a $13$. Ahora, vamos a demostrar que podemos construir estas sumas en forma indefinida. Asumir sabemos algunos de los prime $p'$ existe de tal manera que cada número entero $7\leq n \leq 2p'$ puede ser expresada como una suma de distintos números primos menores o iguales a $p'$. Entonces, por el postulado de Bertrand, existe un primer $p$ tal que $p'<p<2p'$. Pretendemos ahora que cada entero $7\leq n \leq 2p$ puede ser escrita como una suma de distintos números primos menores o iguales a $p$. Considere los dos siguientes casos

Caso 1: $2p'-p\geq 7$, por lo tanto $2p'\geq p+7$, por lo que los términos de $p,p+1,\dots,p+7$ son de menos de o igual a$2p'$, lo que significa que se puede escribir como una suma de distintos números primos $\leq p'$ por hipótesis. Es a la izquierda para comprobar si los términos de $p+8,p+9,\dots, 2p$ satisfacer nuestra demanda. Nota si restamos $p$ de cada término de la progresión aritmética anteriormente, vuelve a $8,9,\dots, p<2p'$, lo que muestra que cada término puede ser escrito como la suma de $p$ además de algunos otros distintos de los números primos menores o iguales a $p'<p$ por hipótesis.

Caso 2: $2p'-p\leq 6$, por lo tanto $2p'\leq p+6$. Aquí podemos ver todos los términos de $p+7,\dots, 2p$ satisfacer nuestra demanda a lo largo de con $p+2,p+3$ $p+5$ por un argumento similar como en el Caso 1. No estoy seguro de cómo tratar con $p+1,p+4,$$p+6$, aunque.

EDIT: Oh, desde cualquier prime $p \geq 13$ es impar, entonces los únicos valores posibles para $2p'$ en el Caso 2 se $p+1,p+3$$p+5$, por lo que no tiene que preocuparse acerca de los otros casos. Creo que estoy hecho!

EDIT: No, todavía tengo que lidiar con $p+4$$p+6$.

Answer 1

Vamos a probar inductivamente una forma más fuerte, es decir, que cada entero positivo $n \ge 7$ puede ser escrito como la suma de los distintos números primos tales que el más grande es en la mayoría de las $\max(11,n-7)$. Resulta que el fortalecimiento de hace que el trabajo de la inducción!

Tome $n \ge 28$.

Deje $m = \lceil \frac{n-6}{2} \rceil= \lfloor\frac{n-5}{2} \rfloor$.

Deje $p$ ser un primo tal que $m+1 \le p \le 2m-1$ [por Bertrand postulado].

A continuación,$\frac{n-5}{2} \le p \le n-7$.

Por la inducción de establecerse $n-p$ puede ser escrita como una suma de distintos números primos tales que el más grande es en la mayoría de las $\max(11,n-p-7)$, que es menos de $p$ porque $p \ge \frac{28-5}{2} > 11$$2p \ge n-5 > n-7$.

Por lo tanto $n$ puede ser escrita como una suma de distintos números primos tales que el más grande es en la mayoría de las $\max(7,n-7)$, y la inducción tiene como largo como la afirmación es verdadera para todos los $n$$7$$27$.

7 = 5+2
8 = 5+3
9 = 7+2
10 = 5+3+2
11 = 11
12 = 7+5
13 = 11+2
14 = 7+5+2
15 = 7+5+3
16 = 11+5
17 = 7+5+3+2
18 = 11+7
19 = 11+5+3
20 = 11+7+2
21 = 11+7+3
22 = 13+7+2
23 = 13+7+3
24 = 13+11
25 = 13+7+5
26 = 13+11+2
27 = 13+11+3

Answer 2

Sugerencia: Postulado de Bertrand es útil para el paso inductivo. es decir, con la asunción que esto sostiene para todas las $n < M-1$, tienes alguna primera $p$s.t. $M \ge p > M/2$. Por lo tanto puede expresar $M-p$ como una suma de números primos distintos, ninguno de los cuales son $p$.

Todo lo que queda es mostrar $n=7$ y casos que $M-p < 7$ puede ser manejado. $M-p \in \{1, 4, 6\}$ merece algún detalle... (se permite momentos como este uno deseos $1$ como un primo. Esta última parte sin embargo parece ser bastante difícil).