Sé que todos los de las matemáticas pueden replantear en términos de teoría de conjuntos. Hay múltiples opciones para este teoría (alguna forma de ZFC, NBG, NF, etc.), y tan múltiple posible establece bases teóricas para las matemáticas.
Me han dicho (aunque conozco muy poco sobre el tema que no puedo comprobar) que teoría de la categoría también nos proporciona una base para las matemáticas.
¿Cuáles son los otros candidatos conocidos para las fundaciones de las matemáticas, si?
No hay mucho que decir acerca de cualquiera de los fundamentos de los sistemas de debajo, así que la siguiente es necesariamente sólo un esbozo sobre sus ideas principales y las diferencias.
La categoría teórica de la fundación donde le dijo acerca de que es, probablemente, Lawvere de la Teoría Elemental de la Categoría de Conjuntos (ETCS). Como la clásica teoría de conjuntos, es un primer orden de la teoría, pero los conceptos básicos/ideas se construye son los de un objeto/set y una de morfismos entre tales, en lugar de conjuntos y elementos de conjuntos como en la clásica teoría de conjuntos.
Por ejemplo, ver http://ncatlab.org/nlab/show/ETCS y http://ncatlab.org/nlab/show/Trimble+sobre+ETCS+I Una buena introducción a la primaria toposes, de los cuales ETCS es el primer orden axiomatization, se da en Maclane-Moerdijk, Poleas en la Geometría y la Lógica
Nota, sin embargo, que al igual que en la clásica teoría de conjuntos, tenemos una clara separación entre la lógica y la teoría construir sobre la de ella.
En el tipo de teoría, esta distinción es borrosa: se trata de lidiar con entidades sintácticas de los tipos y condiciones, los cuales pueden ser considerados como los dominios de discurso y de sus elementos, o como proposiciones acerca de estas y de sus pruebas. Junto con decidability de las resoluciones judiciales "Este término pertenece a ese tipo", que puede ser (y ha sido), implementado en una computadora, esto da lugar a una prueba sensible y de la máquina-seleccionable (e incluso de la máquina-asistida) fundacional sistema formal adecuado para la formalización de los clásicos y de intuitionistic razonamiento tanto de primer orden y de orden superior de la lógica.
Por ejemplo, ver http://ncatlab.org/nlab/show/type+teoría y las referencias allí contenidas. En concreto, es posible que desee echar un vistazo a homotopy tipo de teoría http://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+tipo+de teoría, un tipo teórico de la fundación de las matemáticas en desarrollo en la construcción de los conceptos de espacio y homotopy como los conceptos básicos.
Además de ZFC, encontrar el trabajo de Brian Rotman interesante: un enfoque más bien, lingüístico, físico:
"Matemáticas como signo"
Escribir, imaginar, contar http://www.sup.org/books/title/?id=415
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