¿Puede ser diagonalized el % de matriz $A=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 3 & 3 \end{bmatrix}$$\mathbb{Z}_5$?

Question

Estoy atascado en la búsqueda de valores propios que están en el campo por favor ayuda.

Dada la matriz: $$ A= \left[\begin{matrix} 0 & 1\\ 3 & 3 \end{de la matriz}\right] $$

cuyas entradas son de $\mathbb{Z}_5 = \{0, 1, 2, 3, 4\}$, hallar, si es posible, las matrices de $P$ $D$ $\mathbb{Z}_5$ tal que $P^{−1} AP = D$.

He encontrado que el polinomio característico: $x^2-3x-3=0$ Desde su más $\mathbb{Z}_5$, $x^2-3x-3=x^2+2x+2=0$.

Pero a partir de ahí no estoy seguro de cómo encontrar los autovalores, una vez que me pongo los valores que están en el campo va a ser fácil encontrar los vectores propios y crear la matriz de $P$.

Answer 1

sí $\Bbb Z_5$ porque: $\lambda^2 -3\lambda-3=o$ a Z_5 tendremos $\Delta=9+12=4+2=6$ (9~4 y 12~2 en Z_5) por lo $\Delta=1$ y por lo $\lambda_1=\frac{3+1}{2}=2$ $\lambda_2=\frac{3-1}{2}=1$

acerca de: $\lambda_1$ hemos :$ ( \left[\begin{matrix} 0 & 1\\ 3 &3 \end{de la matriz}\right]-\left[\begin{matrix} 2 & \\ 0 &2 \end{de la matriz}\right] )\left[\begin{matrix} x\\ y \end{de la matriz}\right]=0$

$$-2x+y=0 $$ & $$( 3x+y=0 ~ -2x+y=0 ) $$ and so $$ y=2x $$ es nuestro espacio de eigen valor de $ \lambda_1 =\{(2,4),(0,0)(1,2)\} $ => (dim =1) base={(1,2)}

acerca de $\lambda_2$:

$ ( \left[\begin{matrix} 0 & 1\\ 3 &3 \end{de la matriz}\right]-\left[\begin{matrix} 1 & 0\\ 0 &1 \end{de la matriz}\right] )\left[\begin{matrix} x\\ y \end{de la matriz}\right]=0$ and so $y=x$ es nuestra respuesta y vector propio espacio de $\lambda_2=\{(0,0)(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)\} \implies $ $(\dim=1)$ base ={(1,1)}

la matriz en la base de la$ \{(1,1),(1,2)\}$ será diagonalizable $\left[\begin{matrix} 2 & 0\\ 0 &1 \end{de la matriz}\right] $

Answer 2

Insinuación: $x^2-3x-3\equiv x^2-3x+2$.