Sumas de un conjunto de matrices simétricas

Question

Decir que tenemos un conjunto de simétrico $n \times n$matrices $M_i$ $1 \leq i \leq k$, elementos en $\mathbb{R}$. Supongamos que cada $\boldsymbol{\lambda} = (\lambda_1, \dots , \lambda_k) \in \mathbb{R}^k$ tenemos el núcleo de

\begin{equation*} M_{\boldsymbol{\lambda}} = \sum_i \lambda_i M_i \end{ecuación *}

es no trivial. ¿Sigue que existe un distinto de cero $n$vector $\textbf{v}$ $M_i \textbf{v} = 0$ % todo $i$?

Answer 1

Jajaja Como un contraejemplo, considerar el % de matrices $M_1 = \pmatrix{1 & 0 \cr 0 & 0}$, $M_2 = \pmatrix{0 & 1 \cr 0 & 0}$. Cualquier combinación lineal tiene una fila de ceros y por lo tanto no es invertible, pero los granos de $M_1,M_2$ son disjuntos (excepto 0).

Answer 2

Todavía no. Contraejemplo:

$M = \lambda M_1 + \mu M_2 = \pmatrix{0 & \mu & \mu \cr \mu & \lambda & 0 \cr \mu & 0 & -\lambda}$.

Obviamente $\det(M)\equiv 0$ % todo $\lambda$y $\mu$. Sin embargo, el único $(x,y,z)$ satisface

$M\pmatrix{x\cr y\cr z} = \pmatrix{0 & \mu & \mu \cr \mu & \lambda & 0 \cr \mu & 0 & -\lambda}\pmatrix{x\cr y\cr z} = \pmatrix{\mu(y+z)\cr \mu x + \lambda y\cr \mu x - \lambda z} = \mathbf{0}\quad \forall \lambda, \mu$

es el vector cero.