Diferentes funciones o funciones mismo

Question

Tengo una pregunta en mi libro :

$f(x) = \frac{x}{x}$ $f(x) = 1$ son diferentes o no, por qué o por qué no?

Sólo puedo pensar en que las funciones son diferentes, ya que la segunda es una función constante, independientemente del valor de $x$.

Pero en la evaluación de la primera función, siempre vamos a tener $1$. y en la primera función no está definida en$x = 0$, mientras que la segunda función está definida en $x = 0$.

¿Hay alguna otra manera de pensar matemáticamente y mi instructor nunca cubierto todo lo relacionado con este. Amablemente ayuda.

Answer 1

Dos funciones son iguales si tienen el mismo dominio, y si tienen los mismos valores funcionales en cada punto de ese dominio. Si $f(x) = \frac{x}{x}$ y $g(x) = 1$, entonces f (x) = g (x) para todo x en el dominio de f, pero como LoveTooNap29 señalado, sus dominios son diferentes. Por lo tanto, las funciones no son idénticas.

Answer 2

Depende de cómo frase de la pregunta. Si usted dice

Vamos $f,g : \mathbb{Q}\setminus\{0\} \to \mathbb{Q}$, $$f(x) = \frac{x}{x}, \qquad g(x)=1$$

a continuación, $f$ $g$ son de hecho iguales. Esto también es cierto si se sustituyen los números racionales $\mathbb{Q}$ con los reales, o con números complejos... como siempre que lo haga de forma coherente para ambas funciones.

Sin embargo, debido a $g$ no utilizar realmente su argumento, no hay ninguna razón para suponer que su dominio debe ser $\mathbb{Q}\setminus\{0\}$. Yo podría escribir

Vamos $g : \{1, 2, (0,5), i,\mathrm{cucumber}\} \to \mathbb{R}$, $$g(x)=1$$

o, más razonablemente, sólo

Vamos $g : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$, $$g(x)=1.$$

A continuación, $g$ sería completamente diferente tipo de objeto de $f$, y dependiendo de su filosofía estarían nonequal o no sentido preguntarse si son iguales.

Answer 3

Fijate que

Answer 4

Técnicamente, $f(x)=x/x$ no es igual a $g(x)=1$, porque es técnicamente definida en 0 $f(x)$. De la misma manera, la función sinc técnicamente no es igual a $\sin(x)/x$.

Sin embargo esto es sólo un tecnicismo: existe el límite en 0, y se puede redefinir $f(x)$ a la igualdad de su límite a 0, en cual caso $f(x)=g(x)=1$. Por lo general, esto es exactamente lo que debe hacer.