Jajaja de soluciones integrales de $x_1+x_2+x_3+x_4=20.$

Question

Tengo que resolver un no. de preguntas de este tipo pero no se como hacerlo:

Determinar el no. de soluciones integrales de $x_1+x_2+x_3+x_4=20.$ teniendo en cuenta la restricción que
$$1\leq x_1\leq 6,0\leq x_2\leq7,4\leq x_3\leq 8 ,2\leq x_4\leq 6.$$

Hice las siguientes expansiones:
$(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)(1+x+x^2+\cdots +x^7)(x^4+\cdots +x^8)(x^2+\cdots+ x^6)$
ahora encontraremos el coeffiecient $x^{20}$ en la expresión anterior.
pero no entiendo cómo...

Answer 1

Un método que conduce a una solución general de estos tipos de problemas es la suma de cada una de las series geométricas y, a continuación, tratar con el producto resultante. En este caso, su función sería la generación de $$\frac{x(1-x^6)}{1-x}\cdot \frac{(1-x^8)}{1-x}\cdot \frac{x^4(1-x^5)}{1-x}\cdot \frac{x^2(1-x^5)}{1-x}.$$ Entonces, el coeficiente de $x^{20}$ de esto coincidiría con el coeficiente de $x^{13}$$\frac{(1-x^6)(1-x^8)(1-x^5)^2}{(1-x)^4}$. Creo que te estás atascado con ampliando el numerador, pero el denominador es sólo $\frac1{(1-x)^4}=\sum_n\binom{n+3}3x^n$. Esto conduce a $$(1-2x^5-x^6-x^8+x^{10}+2x^{11}+2x^{13}+\cdots)\cdot\sum_n\binom{n+3}3x^n.$$, el número de soluciones de la ecuación original sería $$\binom{16}3-2\binom{11}3-\binom{10}3-\binom83+\binom63+2\binom53+2\binom33=96.$$