La cuestión clave a tener en cuenta es que la regla de oro de Fermi describe las transiciones entre estados propios de algunos imperturbable de hamilton, y que estos autoestados son asumidos para ser ortogonales durante su derivación. Esencialmente, esto significa que su estado final será algo de la forma
$$
|\psi_i⟩+a(t)|\psi_f⟩,
$$
donde la fase relativa de los dos componentes es crucial para determinar la forma de la final de la función de onda. Por otro lado, esta fase es irrelevante en cuanto a la población del estado está en transición.
Creo que la mejor manera de mostrar esto es por medio de un ejemplo. Considerar, luego de una partícula en dos dimensiones que se propaga en el interior de una guía de onda armónica de la anchura $w$, con imperturbable de hamilton
$$
H_0=\frac{\hat{p}_x^2}{2m}+\frac12 \manejadores\omega_\asesino\, \frac{x^2}{w^2}+\frac{\hat{p}_z^2}{2m},
$$
y que inicialmente se propaga en el suelo en el modo de la guía de onda y con el ímpetu $\hbar k$ a lo largo de ella, por lo que el estado inicial es
$$
⟨x,z|\psi_i⟩
=
\frac{\pi^{-1/4}}{\sqrt{2\pi\manejadores w}}e^{-x^2/2a^2}e^{ikz}.
$$
Supongamos, ahora, que me incline ligeramente la tabla que contiene la guía de onda, para intentar mover la partícula a un lado. Esto es fácil de modelar por medio de una perturbación del hamiltoniano de la forma
$$
H_\text{int}=\kappa x,
$$
donde el signo de $\kappa$ determina si me la inclinación de la tabla a la izquierda o a la derecha.
El estado en el que se rellenará la mayoría - al menos para los pequeños tiltings - es la primera emocionado modo de la guía de onda,
$$
⟨x,z|\psi_i⟩
=
\frac{\pi^{-1/4}}{\sqrt{4\pi\manejadores w}}\frac{x}{w}e^{-x^2/2a^2}e^{ikz},
$$
que tiene una línea nodal hacia el centro. Como usted bien la nota, la perturbación de la teoría de que el tratamiento de primer orden predice que la misma población será inducida en el estado excitado independientemente en el signo de $\kappa$. Sin embargo, la fase relativa de la superposición de la inicial y el estado final dependerá de la señal, y por lo tanto la forma de la total del estado después de la perturbación también va a cambiar drásticamente. Este es el que mejor se expresa gráficamente:
![enter image description here]()
He hecho algunos más-o-menos handwavy argumentos acerca de esto, permítanme mostrarles un poco más de exactitud cómo es que la ortogonalidad de los estados involucrados, los resultados en la independencia con respecto a la señal de la perturbación. Soy vagamente basar mis argumentos en este texto por Emmanuel N. Koukaras, lo que es una buena exposición del tema.
Considerar, entonces, una inicial de hamilton
$\renewcommand{\phi}{\varphi}H_0=\sum_n E_n|\phi_n⟩⟨\phi_n|$
a lo que se suma una débil dependiente del tiempo de perturbación $W(t)$. Supongamos que el sistema se inicia en el estado de $|\psi_i⟩$$t=0$, momento en el que la perturbación se enciende hasta que $t=T$, para dar un estado de $|\psi(T)⟩=|\psi_i⟩+|\psi'⟩$. Permítanme empezar por escrito el estado del sistema $|\psi(t)⟩$ en forma
$$
|\psi(t)⟩=\sum_n a_n(t) e^{-iE_n t/ħ}|\phi_n⟩=\sum_n (a_n(0)+b_n(t)) e^{-iE_n t/ħ}|\phi_n⟩,
\tag1
$$
lo que equivale a mover a la interacción de la imagen, donde el $b_n(t)$ son cero si la perturbación no está presente.
Supongamos, finalmente, que se está probando para la probabilidad de la amplitud para que el sistema esté en un estado $|\psi_f⟩$ después de la perturbación es más, para que usted se preocupa por la amplitud
$$
⟨\psi_f|\psi(T)⟩.
$$
Sin embargo, al menos por el momento, no voy a asumir que el estado inicial o el final de la sonda de estado son autoestados de $H_0$.
Es bastante fácil, en estas condiciones, para reformular la ecuación de Schrödinger en términos de los coeficientes $a_n(t)$, que ahora están sometidos a la perturbación $W(t)$, y sale como
$$
iħ\frac{d}{dt}a_n(t)=\sum_k a_k(t) ⟨\phi_k|W(t)|\phi_n⟩e^{i\omega_{nk}t},
$$
donde $\omega_{nk}=(E_n-E_k)/ħ$.
A la primera orden, podemos asumir que las amplitudes no cambian mucho y que por lo tanto podemos descuidar el tiempo de la variación dentro de la suma. Esto significa que podemos escribir simplemente el ampitudes como las integrales:
$$
a_n(t)=a_n(0)+\frac{1}{iħ}\sum_k a_k(0)\int_0^T\left[ ⟨\phi_k|W(t)|\phi_n⟩e^{i\omega_{nk}t}\right]\texto de dt.
$$
Esto significa, en particular, que el estado de la evolución se divide en la imperturbable evolución del estado inicial,
$$
|\psi^{(0)}(t)⟩=\sum_n a_n(0) e^{-iE_n t/ħ}|\phi_n⟩
$$
y una perturbación que al final de la interacción es igual a
$$
|\psi'(T)⟩=\sum_n e^{-iE_n t/ħ}|\phi_n⟩\sum_k a_k(0)\frac{1}{i\manejadores}
\int_0^T\left[ ⟨\phi_k|W(t)|\phi_n⟩e^{i\omega_{nk}t}\right]\texto de dt.
$$
Ahora podemos poner todo junto para encontrar el solapamiento en el estado final deseado, que es simplemente
$$
⟨\psi_f|\psi(T)⟩=⟨\psi_f|\psi^{(0)}(T)⟩+⟨\psi_f|\psi'(T)⟩.
$$
Nota, en particular, que la perturbación del estado, $|\psi'(T)⟩$, es linealmente dependiente de $W(t)$, lo que significa que cambia de signo, pero no de magnitud si se cambia el signo de la perturbación.
Para continuar con la derivación hacia la versión estándar de la regla de oro de Fermi, debe asumir que $|\psi_i⟩$ es un eigenstate de $H_0$ y $|\psi_f$ es algunos de los diferentes eigenstate. Bajo esas condiciones - y sólo entonces - se puede obtener el resultado de que la superposición $⟨\psi_f|\psi^{(0)}(T)⟩$ se desvanece. Si usted toma alguna otra situación, entonces usted tendrá un segundo mandato en su solapan, lo que significa que un cambio en el signo del término de perturbación $⟨\psi_f|\psi'(T)⟩$ no afecta a la magnitud de la final de la superposición.
Así que, para resumir: si usted trabaja fuera de la teoría de la perturbación y permitir la no-ortogonal de los estados inicial y final, luego de obtener un segundo mandato en la superposición, la cual hace que toda cosa sensible dependen de la señal de la perturbación. Si usted no permiten este tipo, luego te dan una probabilidad de transición, que es independiente de la señal de la perturbación, que luego impactos muy sensiblemente la fase de transición. Esta es la fase relativa entre la perturbación y el estado original, el cual tiene un gran impacto en la forma de la función de onda resultante. Este impacto es fácil de entender, porque el tiempo de evolución de la no-autoestados siempre está codificado en estas fases!
