¿Es un Funtor exacto en espacios de Hilbert o espacios de Banach por dualidad?

Question

Deje $V,V',V''$ $W$ ser espacios vectoriales sobre $k$. A continuación, se sabe que $\operatorname{Hom}(\cdot,V)$ es un contravariante functor exacto, es decir, para cada secuencia exacta

$0\to V'\to V\to V'' \to 0$,

y cada una de las $W$, la inducida por la secuencia

$0\to \operatorname{Hom}(V'',W)\to\operatorname{Hom}(V,W)\to\operatorname{Hom}(V',W)\to 0$

es exacto.

Pero, ¿y si todos los espacios involucrados son espacios de Banach ($\mathbb{C}$ o $\mathbb{R}$) y si reemplazamos $\operatorname{Hom}(\cdot,V)$$\operatorname{L}(\cdot,V)$, es decir, el continuo lineal mapas con el dominio $V$? Es este functor todavía exacto? Lo que si nos restict nosotros mismos aún más fuerte para espacios de Hilbert? Estoy particularmente interesado en la especialización de $W=\mathbb{R}$ o $W=\mathbb{C}$, de donde obtenemos el doble de los espacios (de nuevo, sólo continua mapas considerados en el Banach - o de Hilbert caso).

Estoy aprendiendo para un examen y los libros que he estado leyendo no decir nada al respecto...

Gracias!

Answer 1

Decir que$\DeclareMathOperator{Hom}{Hom}$ $$ 0 \a V' \xrightarrow{i} V \xrightarrow{p} V" \0 $$ es exacto es equivalente a decir que el $i$ es un núcleo de $p$ $p$ es un cokernel de $i$. Esto equivale a la automática de la exactitud de $$ 0 \a \Hom(W,V') \xrightarrow{i_\ast}\Hom(W,V) \xrightarrow{p_\ast} \Hom(W,V") $$ y $$ 0 \a \Hom(V,W) \xrightarrow{p^\ast} \Hom(V,W) \xrightarrow{i^\ast} \Hom(V,W) $$ para todos los espacios de Banach $W$ donde escribo $\Hom(V,W) = L(V,W)$ por el espacio de continuo lineal mapas.

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Considere el caso especial $W = \mathbb{R}$ (o $\mathbb{C}$):

Dando un morfismos $f \colon \mathbb R \to X$ es lo mismo que elegir un vector $x = f(1) \in X$ porque por un escalar $\lambda$ tenemos $f(\lambda) = f(\lambda 1) = \lambda f(1) = \lambda x$. Así: $\Hom(\mathbb R, X) = X$ por cada espacio de Banach y la secuencia de $$ 0 \a \Hom(\mathbb R,V') \xrightarrow{i_\ast}\Hom(\mathbb R,V) \xrightarrow{p_\ast} \Hom(\mathbb R,V") \a 0 $$ realmente es la secuencia de las $0 \to V' \xrightarrow{i} V \xrightarrow{p} V'' \to 0$ que hemos empezado.

Desde $\operatorname{im} i = \ker{p}$, el mapa de $i\colon V' \to V$ es un homeomorphism en su rango de $i(V')$ $i(V')$ es un subespacio cerrado de $V$. Lineal en el mapa de $f' \colon V' \to \mathbb R$, lo que corresponde a un funcional lineal sobre el subespacio $i(V')$ $V$ y el de Hahn-Banach teorema nos permite extender lineal funcional a todos los de $V$. En otras palabras, $i^\ast \colon \Hom(V,\mathbb R) \to \Hom(V',\mathbb R)$ es siempre surjective y por lo tanto el doble de la secuencia $$ 0 \a (V")^\ast \V^\ast \a (V')^\ast \a 0 $$ es exacto.

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Para el general de los espacios de Banach $W$, la respuesta es que ni $p_\ast$ ni $i^\ast$ necesitan ser surjective: Para$V' = c_0$$V = \ell_\infty$$V'' = \ell_\infty / c_0$, la secuencia de $$ 0 \a c_0 \xrightarrow{i} \ell_\infty \xrightarrow{p} \ell_\infty/c_0 \a 0 $$ es exacto. Phillips' lema dice que para $W = c_0$ la identidad de $V' \to W$ no puede ser extendida a una de morfismos $V = \ell_\infty \to c_0$ y, lo que es equivalente, la identidad de $\ell_\infty/c_0 \to V''$ no puede ser elevado a $\ell_\infty/c_0 \to \ell_\infty$.

Ver

• Hacer continuo de las funciones lineales entre espacios de Banach extender?
• Complemento de $c_{0}$ $\ell^{\infty}$

para las pruebas y la discusión de este último punto.

Answer 2

Voy a ajustar su notación, porque $V'$ se parece demasiado a un doble de espacio para mí.

En la categoría de los espacios de Banach, donde los morfismos son el continuo lineal mapas, uno tal vez debería interpretar en "imagen" en la categoría de sentido, como el cierre de la imagen. (Véanse los comentarios sobre Martin respuesta.) Si interpretamos "exacta" de acuerdo con este sentido, a continuación, una secuencia de $$0 \to X_1 \overset{S}{\to} X_2 \overset{T}{\to} X_3 \to 0$$ is exact iff $\ker S = 0$, $\overline{S(X_1)} = \ker T$, and $T(X_2)$ is dense in $X_3$.

En esta configuración, el functor $L(\cdot, W)$ no es exacto, ni siquiera cuando se $W = \mathbb{R}$. Por ejemplo, vamos a tomar $X_1 = \ell^1$, $X_2 = \ell^2$, $S$ la inclusión de mapas, y $X_3 = 0$. Desde $S$ es inyectiva y tiene densos de la imagen, esta secuencia es exacta. Si $L(\cdot, \mathbb{R})$ fueron un functor exacto, a continuación, $S^* : (\ell^2)^* \to (\ell_1)^*$ también debe ser inyectiva y tiene densa de la imagen. $S^*$ es inyectiva, pero ya que es un mapa de la separable espacio de Banach $(\ell^2)^* = \ell^2$ a los no-separable espacio de Banach $(\ell^1)^* = \ell^\infty$, no se puede tener densa de la imagen. (De hecho, $S^*$ es sólo la inclusión de mapa de $\ell^2 \to \ell^\infty$ y el cierre de $\ell^2$$\ell^\infty $$c_0$, las secuencias que se desvanecen en el infinito.)

Si usted trabaja en la categoría de reflexiva de espacios de Banach, entonces $L(\cdot, \mathbb{R})$ es un functor exacto; esto es bastante sencillo diagrama de chase usando el de Hahn-Banach teorema.