¿Hay desiertos arbitrariamente largo principales?

Question

Posible duplicado:
¿Cuál es el número máximo de números compuestos consecutivos posible?

Definir un desierto principal de longitud $k$ a ser una secuencia de números $n + 1, n + 2, ..., n + k $ tal que $n + i$ es compuesto $1 \le i \le k$. ¿Así que mi pregunta es dado un número entero positivo $k$ es un desierto alto de longitud $k$?

Answer 1

Sí, siempre hay un desierto tan privilegiado. Considerar $(k+1)! +1, (k+1)! +2,\ldots (k+1)! +(k+1).$ $2 \leq i \leq k+1,$ ver que $(k+1)! +i$ $i,$ divisible pero es estrictamente mayor que $i,$ así que no puede ser primer.

Answer 2

Aquí es un enfoque alternativo que utiliza alguna maquinaria pesada.

Sabemos que, si $\pi(x)$ denota que el número de primos $\leq x$, entonces el $\pi(x)$ crece en aproximadamente la misma proporción que $\frac{x}{\ln x}$, en el sentido que $\lim_{x\to\infty} \frac{\pi(x)}{x/\ln (x)}=1$. (Esta declaración se llama El teorema del número primo). Ahora, si la flor más grande del desierto eran de tamaño $k$, entonces el $\pi(x)\geq\frac{x}{k+1}$. $\lim_{x\to\infty}\frac{x/(k+1)}{x/\ln(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{k+1}=\infty$.

Answer 3

Sí. Es un buen ejercicio para demostrar que los números $k!+2,\dots, k!+k$ son todos compuestos y así esto es un desierto alto de longitud $k-1$ (para que podamos conseguir arbitrariamente largas unos dejando $k$ ser lo suficientemente grande). Por supuesto podemos hacer mejor para cómo grandes son los números por ejemplo a partir de $k!-2$ y va al $k! - k$. No sé cómo pequeñas podemos hacer el número más pequeño con el fin de obtener un desierto de longitud $k$ aunque.