Recuento de acciones de grupo de un grupo finito a sí mismo

Question

Dado un grupo finito $G$, ¿cuántos grupo homomorphisms $G \to \mathrm{Perm}(G)$ existen? ¿Alternativamente, de cuántas maneras puede un grupo finito actúa en sí mismo?

Answer 1

Cada $G$-establecer $X$ se descompone en órbitas en que $G$ actúa transitivamente, y todos los transitiva $G$-conjuntos son isomorfos (como $G$-conjuntos) a la izquierda coset espacio de $G/H$ algunos $H$ que es la única a la conjugación.

Así que vamos a determinar el número de acciones del grupo de $G$ sobre un conjunto de tamaño $n$. La única cosa especial sobre el caso de $n=|G|$ es que cuando $X$ tiene el mismo conjunto subyacente como $G$ hay una canónica de la acción como en la declaración de Cayley del teorema (llamado a la acción), así que no hay razón para restringir a ese caso especial. De hecho, ni siquiera tenemos que asumir que el grupo $G$ es finito, aunque debemos asumir, $n=|X|$ es.

Por un lado, una acción de $G$ $\{1,\cdots,n\}$ es sólo un homomorphism $G\to S_n$, así que lo que estamos tratando de contar (o caracterizar) es la cardinalidad $|\hom(G,S_n)|$ uso puramente grupo de teoría de invariantes numéricos de $G$. Vamos a considerar los asociados exponencial de generación de función y encontrar una descripción alternativa de la misma.

Vamos a averiguar de cuántas maneras podemos tener $G$ actuar en $X$ dar $e_k$ órbitas de tamaño $k=1,2,3,\cdots$, para algunos números de $e_1,e_2,e_3,\cdots$ satisfacción $1e_1+2e_2+3e_3+\cdots=n$.

En primer lugar, debemos partición $X$ a $e_k$ subconjuntos de tamaño $k$ por cada $k$. El número de maneras de hacer que es

$$ \frac{n!}{1!^{e_{\large 1}}e_1!~2!^{e_{\large 2}}e_2!~3!^{e_{\large 3}}e_3!\,\cdots}. $$

Una manera de pensar acerca de esto es el de la órbita estabilizador teorema: el grupo $S_n$ actúa sobre el conjunto de todas estas particiones transitivamente, y todos los punto-estabilizadores es isomorfo a un producto directo de la corona de los productos de los grupos simétricos $(S_1\wr S_{e_{\large 1}})\times(S_2 \wr S_{e_{\large 2}})\times( S_3\wr S_{e_{\large 3}})\times\cdots$.

Siguiente, dado un determinado subconjunto $Y\subseteq X$ del tamaño de la $k$, ¿de cuántas maneras distintas podemos darle un transitiva acción de $G$? Construir una lista de $H_1,H_2,\cdots,H_{\ell}$ de los representantes de cada clase conjugacy de subgrupo de $G$ de índice de $k$. (Ejercicio: el $G$-conjuntos de $G/H$ $G/H'$ son isomorfos si y sólo si $H\sim H'$ son conjugado subgrupos.) Supongamos que hay $n_1,n_2,\cdots,n_{\ell}$ conjugados de cada uno respectivamente. Si tenemos $G$ ley por la conjugación en cada clase conjugacy de subgrupo y aplicar órbita-estabilizador obtenemos la fórmula $n_i=[G:N_G(H_i)]$.

Para hacer $Y$ $G$- ajuste isomorfo a $G/H_i$, se debe escoger un bijection $Y\to G/H_i$. Dado que tanto $Y$ $G/H_i$ tienen un tamaño $k$, $k!$ maneras de hacer esto. Sin embargo, hay una cierta redundancia: dos bijections $Y\to G/H_i$ inducir el mismo $G$-acción en $Y$ si hay un $G$-ajuste automorphism $G/H_i\to G/H_i$ a que se refiere los dos. Tenemos $\mathrm{Aut}_{G\textrm{-set}}(G/H_i)\cong N_G(H_i)/H_i$ (ver mi respuesta aquí).

Poner esto juntos, el número de acciones transitivas de $G$ $Y$ es igual a

$$ \begin{array}{ll} \displaystyle k!\,\sum_{i=1}^{\ell} \frac{1}{|N_G(H_i):H_i]} & \displaystyle =\frac{k!}{[G:H_i]}\sum_{i=1}^{\ell} \frac{[G:H_i]}{[N_G(H_i):H_i]} \\ & \displaystyle = \frac{k!}{k} \sum_{i=1}^{\ell} [G:N_G(H_i)] \\ & \displaystyle =(k-1)!\sum_{i=1}^{\ell} n_i. \end{array} $$

Si $a_k$ indica el número de subgrupos de $G$ de índice de $n$, esto es $(k-1)!a_k$.

Hacemos esto para cada subconjunto $Y\subseteq X$ del tamaño de la $k$ todos los $k$, multiplicar los condes juntos, y se obtiene el siguiente exponencial de la generación de la función:

$$\begin{array}{ll} F(z) & \displaystyle = \sum_{n=0}^\infty\frac{|\hom(G,S_n)|}{n!} z^n \\ & \displaystyle =\sum_{n=0}^\infty \left[\sum_{n=1e_1+2e_2+\cdots} \frac{n!}{1!^{e_{\large 1}}e_1!~2!^{e_{\large 2}}e_2!~3!^{e_{\large 3}}e_3!\,\cdots} (0! a_1 )^{e_{\large 1}}(1! a_2)^{e_{\large 2}}(2! a_3)^{e_{\large 3}} \cdots\right]\frac{z^n}{n!} \\ & \displaystyle =\sum_{e_1,e_2,\cdots}\frac{1}{e_1!e_2!e_3!\cdots}\left(\frac{a_1}{1}z^1\right)^{e_{\large 1}} \left(\frac{a_2}{2}z^2\right)^{e_{\large 2}} \left(\frac{a_3}{3}z^3\right)^{e_{\large 3}}\cdots \\ & \displaystyle = \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m!}\sum_{e_1+e_2+\cdots=m}\binom{m}{e_1,e_2,e_3,\cdots} \left(\frac{a_1}{1}z^1\right)^{e_{\large 1}} \left(\frac{a_2}{2}z^2\right)^{e_{\large 2}} \left(\frac{a_3}{3}z^3\right)^{e_{\large 3}}\cdots \\ & \displaystyle = \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m!}\left(\frac{a_1}{1}z^1+\frac{a_2}{2}z^2+\frac{a_3}{3}z^3+\cdots\right)^m \\ & \displaystyle = \exp\left(\sum_{k=1}^\infty\frac{a_k}{k} z^k\right). \end{array}$$

Uno puede categorify este argumento para hacer que sea mucho más pulido: la exponencial de generación de función $F(z)$ es el promedio ponderado de groupoid cardinalidad de la categoría de finito $G$-establece con isomorphisms, que es equivalente a la libre monoidal simétrica de la categoría en el finito groupoid de finito transitiva $G$-conjuntos de automorfismos, en cuyo caso podemos utilizar el "categórica exponencial de la fórmula." Qiaochu Yuan escribe acerca de esto en un post en el blog aquí.

Answer 2

Aquí están algunos alimentos para que los pensamientos, esto está lejos de una respuesta, ya que no sé.

• Si $G$ es cíclica y, a continuación, $G$ puede actos sobre sí mismo a través de $|G|!$ diferentes maneras. De hecho, si $x\in G$ es un generador de $G$, no es como muchos homomorphisms de $G$ $S(G)$ya que hay elementos en $S(G)$, ya que un grupo de homomorphism de $G$ está determinada únicamente por la imagen de $x$.

• Vamos $G_1$, $G_2$ dos grupos finitos y deje $G:=G_1\oplus G_2$. Si $\varphi$$\psi$, es un grupo de homomorphism de$G_1$$S(G_1)$, respectivamente, de $G_2$$S(G_2)$, $\varphi\oplus\textrm{id}_{G_2}$ $\textrm{id}_{G_1}\oplus\psi$ es un grupo homomorphism de$G_1\times G_2$$S(G)$. Además, distincts $\varphi$, respectivamente distincts $\psi$, conduce a distincts $\varphi\oplus\textrm{id}_{G_1}$, respectivamente distincts $\textrm{id}_{G_2}\oplus\psi$. Además, si $\varphi$ o $\psi$ no es la identidad de $G_1$ o $G_2$, $\varphi\oplus\textrm{id}_{G_2}$ es distinta de la $\textrm{id}_{G_2}\oplus\psi$. Por lo tanto, se tiene: $$|\textrm{Hom}(G,S(G))|\geqslant|\textrm{Hom}(G_1,S(G_1))|\times|\textrm{Hom}(G_2,S(G_2))|-1.$$ Creo que este límite inferior está lejos de ser óptima.

• Si $G$ es finito abelian, a continuación, $G$ es un producto directo de un número finito de grupos cíclicos. Esto se desprende de la clasificación de finitely generado módulo sobre el principal ideal de dominios. Si $\displaystyle G=\bigoplus_{i=1}^n\mathbb{Z}/(d_i)$, de acuerdo al siguiente punto, hay al menos $d_1!\cdots d_n!-n+1$ grupo de acciones de $G$ sobre sí mismo. Observe que siempre que $G$ es cíclica, este límite inferior se alcanza. Sería una interesante pregunta cuando este límite inferior se alcanza, pero no tengo ni idea de en que momento.