¿Qué es Maupertuis ' principio bueno para?

Question

La fuerza de la ciudad de Hamilton principio es obvio para mí y veo la ventaja. Ahora, para los conservadores sistemas también tenemos Maupertuis' principio que dice:

$$ \delta \int p dq =0$$

y no estoy seguro de cómo derivar una ecuación de movimiento de esto? Es éste, de cualquier uso, en la práctica, los cálculos? Así, se puede aplicar este principio, por ejemplo, para el oscilador armónico?- Nunca he visto a nadie usar.

Además, he leído en Goldstein de la Mecánica clásica que la variación en Maupertuis principio no es el de Hamilton principio, ya que hemos constante de Hamilton y el cambio de hora, mientras que Hamilton principio de la constante de tiempo y la variación de Hamilton (en general).

Estoy un poco preguntando acerca de esto, ya que usted puede conseguir fácilmente Maupertuis' principio de Hamilton principio: $$ \delta \int L dt = \delta \int p \dot{q} - H dt = \delta \int p \dot{q} dt = \delta \int p dq =0,$$ if $H$ es constante. Puede alguien aquí que me explique, ¿por qué tenemos que usar una variación diferente y cómo se puede utilizar este principio?

Answer 1

De hecho, Maupertuis o de Euler principios de menos la acción, históricamente, la primera formulación de por lo menos un principio de acción, pero uno tiene que esperar Lagrange y de Hamilton para tener una versión moderna, con el llamado de Euler-Lagrange las ecuaciones que nos permiten obtener las ecuaciones de movimiento.

Si no me equivoco, no se puede deducir directamente de las ecuaciones de movimiento a partir de la Maupertuis/Euler principios. El problema que yo veo es que no se puede conocer la dependencia de la energía potencial $V$$x$, en ver sólo la energía cinética $T$.

Ahora, como usted afirma, pero escrito de otra manera, para un movimiento conservador con la energía, se puede ver que la variación de la Maupertuis' acción es equivalente a la variación de los Lagrange/Hamilton acción, por ejemplo, comenzando con Maupertuis' principio :

$$ \delta\int (2T) dt = 0$$

Tenemos : $2T = T + (E - V)$, por lo que Maupertuis' principio puede ser escrita :

$$ \delta\int (E + (T-V)) dt = 0$$

Pero $E$ siendo una constante, esto no es útil en la variación, por lo que, finalmente, tenemos :

$$ \delta\int (T-V) dt = 0$$ que es la costumbre de Lagrange/Hamilton acción.

Pero, para realmente tener las ecuaciones de movimiento, usted tiene que utilizar un funcional, que es :

$$ \delta\int L(x,\dot x,t) dt = 0$$ y esto se da, gracias a la de Euler/Lagrange ecuaciones, las ecuaciones de movimiento.