¿Por qué la sustitución funciona en antiderivados?

Question

No estoy totalmente seguro de lo que quiero preguntar aquí, así que por favor tengan paciencia conmigo!

Creo que la explicación que nos dan en la escuela para saber cómo encontrar la antiderivada por la sustitución de las obras es: $$\int f(g(t))g'(t)dt=(Fg)(t)=F(g(t))=F(u)=\int f(u)du$$

Pero nunca he entendido realmente la igualdad de $F(u)=\int f(u)du$. ¿Por qué nos comportamos como si la identidad de $u=g(t)$ no existe, calcular la integral de la $\int f(u)du$, y luego el 'sustituto' $u$ en el resultado dando la respuesta correcta? En un sentido, se siente como la variable $u$ pasa de ser 'significativa' en $F(u)$ (donde se encuentra el $g(t)$) y siendo insignificante en $\int f(u)du$, ya que como yo lo percibo el "nombre de la variable" aquí no tiene sentido y podríamos decir $ \int f(u)du = \int f(k)dk = \int f(x)dx = ... $ total de la misma. Otra forma de preguntar lo mismo: ¿por $(Fg)(t)=\int f(u)du$ y no, digamos, $(Fg)(t)=\int f(x)dx$? Dónde estoy confundirse?

Tal vez alguien puede explicar esto mejor que mi maestro de la escuela secundaria? Hay un 'formal' de la explicación para esto? Se agradece un montón!

Answer 1

Voy a tratar de lidiar con las integrales indefinidas. Justificaciones para la integral definida son más complicadas.

Aquí está el argumento estándar, muy extendido. Queremos encontrar $$\int f(g(x)) g'(x)\;dx.$$

Tenga en cuenta que si podemos encontrar una antiderivada $F(x)$$f(x)$, luego de una antiderivada de $f(g(x)) g'(x)$$F(g(x))$. Podemos comprobar esto mediante la diferenciación. Para $(F(g(x)))'= g'(x)F'(g(x))$ por la Regla de la Cadena, desde la $F'(x)=f(x)$. De ello se sigue que $$\int f(g(x)) g'(x)\;dx=F(g(x))+C.$$

Hubo una deliberada desafortunada elección de la variable cuando escribí "una antiderivada $F(x)$$f(x)$." El $x$ aquí está jugando un papel diferente de la $x$ en la integración original de la pregunta. Habría sido mejor elegir una letra diferente de $x$, decir $u$ por el bien de la tradición, o $w$ o $z$, y luego a escribir que queremos encontrar una antiderivada $F(u)$$f(u)$. A continuación, nuestros integral es $F(g(x))+C$.

Como un acceso directo a esta, tenga en cuenta que la colección de todos los antiderivatives de $f(u)$ es, por definición,$\int f(u)\;du$. Esto es $F(u)+C$. Ahora sustituto $g(x)$ $u$ .

Como un acceso directo para el acceso directo, imaginar antes de que eso $u$ es un símbolo, pero al mismo tiempo es, misteriosamente, $g(x)$. A continuación, el paso de sustitución de la anterior párrafo es innecesario, y simplemente obtenemos $$\int f(g(x)) g'(x)\;dx =\int f(u)\,du.$$

¿Cómo puede el $u$ ser tratada como una variable para el bien de la manipulación formal por el cual nos encontramos con $\int f(u)\;du$, y, simultáneamente, como la función de $g(x)$? Uno podría, como usted, legítimamente preguntarse acerca de esto. Un punto a favor es que el argumento anterior demuestra que el procedimiento siempre va a dar la respuesta correcta.

En la integración del proceso de sustitución, en lugar de decir que vamos a encontrar una antiderivada de $f(u)$ y, a continuación, sustituya $g(x)$$u$, podemos escribir, en cambio, en el principio de "Vamos a $u=g(x)$" para buscar $\int f(u)\;du$. Pero todo viene a ser lo mismo.

Se vuelve más complicado. Pronto vamos a tratar a $du$ (lo que significa) como una abreviatura para $g'(x)\;dx$. Pero se puede comprobar que las manipulaciones simbólicas que hacemos se sigue la Regla de la Cadena en el disfraz, y sin duda podemos comprobar siempre si nuestras manipulaciones simbólicas dar la respuesta correcta.

Comentario: La siguiente idea general es útil. La diferenciación es normalmente fácil, la integración no tanto. Si después de algún trabajo se ha calculado una integral indefinida, uno rápidamente puede verificar si la respuesta es correcta, mediante la diferenciación. Esto nos puede salvar de los errores mayores y menores. Como un ejemplo simple, supongamos que queremos $\int e^{-3x}\,dx$. Voy a escribir una respuesta incorrecta, $3e^{-3x}+C$. Vamos a ver si esto es correcto. Diferenciar, utilizando la Regla de la Cadena. Llegamos $-9e^{-3x}$. Uy, respuesta equivocada! Pero podemos ver cómo fijar nuestra respuesta incorrecta, dividiendo esa respuesta por $-9$.

Answer 2

Si entiendo correctamente, el problema se debe a que lamentablemente descuidado (estándar) notación. Vamos a tratar de seguimiento de sustitución a través de un definitivointegral. Supongamos que estamos viendo $$ \int_a^b f(g(t)) g'(t) dt. $$ Si hacemos la sustitución de $u=g(t)$,$du=g'(t)dt$. Sin embargo, hay mucho más que hacer antes de enchufar todo dentro de la integral. Los actuales límites de integración ( $a$ $b$ ) son los límites para la $t$ e no $u$. Pero si $t$$a$$b$,$u$$g(a)$$g(b)$. Por lo tanto nuestros integral se convierte en $$ \int_a^b f(g(t))dt = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du, $$ lo que no es tan absurdo como afirmar que la integral indefinida $\int f(g(t))g'(t)dt $, la cual es una función de t, es igual a la integral indefinida $\int f(u)du $, la cual es una función de $u$. (Para activar estas integrales definidas en algo que se parece más a una función, reemplace el límite superior $b$$x$)

Si alguna vez estás tratando de demostrar una identidad/regla para la integración, si se mira de integrales definidas (por ejemplo,$\int_a^x f(t)dt$, la cual es una función de $x$) en lugar de las integrales indefinidas (por ejemplo, \int f(x)dx), a continuación, gran parte de la confusión debe desaparecer.

Answer 3

La «regla de sustitución» funciona precisamente porque la regla de la cadena es verdadera para los derivados.

Answer 4

Digamos que usted sabe que $F$ es una antiderivada de $f$.

Usted quiere encontrar una antiderivada de $f(g(t)) g'(t)$.

Así, la sustitución de la regla de las entidades fiscalizadoras superiores que $F(g(t))$ es la respuesta. Por qué? Simplemente porque de la regla de la cadena:

$$[F(g(t))]'=F'(g(t)) g'(t)=f(g(t))g'(t) \,.$$

Lo que vemos es que si sabemos que una antiderivada de $f$ podemos encontrar una antiderivada de $f(g(t)) g'(t)$.

Esto es exactamente lo que la sustitución de la regla de sais, en otras palabras: para encontrar una antiderivada de $f(g(t)) g'(t)$ tratar de encontrar una antiderivada de $f$ y el uso de la fórmula de arriba.