Una pregunta sobre los polos de la función

Question

Considere la función $f(z)=\dfrac{\sin \frac{\pi z}{2}}{\sin (\pi z)}$ .

Entonces $f$ tiene poste en

1) todos los números enteros

2) todos los enteros pares

3) todos los enteros de impar

4) todos los enteros de la forma $4k+1$ , $k \in \mathbb{Z}$ .

Mi idea: función dada $f(z)=\dfrac{\sin \frac{\pi z}{2}}{\sin (\pi z)}$

así que para los polos $\sin (\pi z)=0 \rightarrow \pi z=n\pi \rightarrow n=z $ por lo que $1$ ¿es correcto?

Answer 1

Dejemos que $f(z)$ sea dada por

$$f(z)=\frac{\sin(\pi z/2)}{\sin(\pi z)}$$

Tenga en cuenta que $f$ tiene singularidades removibles cuando $\pi z/2=n\pi$ para $n\in \mathbb{Z}$ desde

$$\lim_{z\to 2n }\frac{\sin(\pi z/2)}{\sin(\pi z)}=(-1)^n\frac12$$

Con esas singularidades eliminadas, $f$ es una función meromorfa con polos simples en $z=(2n-1)$ , $n\in \mathbb{Z}$ .

Por lo tanto, la respuesta es $3)$ .

Answer 2

El único punto que te falta es este:

Fuera de $z=n\pi$ , $n\in\mathbb Z$ los múltiplos pares de $\pi$ están tirando el numerador también a cero.

También $Lim_{z\rightarrow 2k\pi} f(z)= \frac{(-1)^k}{2}$ (por la regla LH); indicando así que se trata más bien de singularidades removibles.

Y el denominador $g(z)=sin\pi z$ tiene un cero simple en $z=(2k+1)\pi$ como $g'((2k+1)\pi)=cos((2k+1)\pi)\ne 0$ Así que $f(z)$ tiene simples ceros aquí.

Las opciones correctas son $3,4$ .