El uso del argumento combinatorio demuestra que$\frac{(3n)!}{2^n\times 3^n}$ es un entero.

Question

El uso del argumento combinatorio demuestra que$\frac{(3n)!}{2^n\times 3^n}$ es un entero.

Si organizamos$3n$ objetos donde hay 3 objetos de un tipo, otros 3 objetos de segundo tipo$\cdots$ y 3 objetos de$n^{th}$ tipo entonces el número de formas son$\frac{(3n)!}{3^n}$ . Pero no puedo imaginar cómo introducir$2^n$ en el denominador.

Answer 1

Su argumento es realmente bueno. Hay un solo defecto: ¿cómo obtuvo$\frac{(3n)!}{3^n}$ por el número de arreglos diferentes? Creo que el número de arreglos posibles es un poco diferente, y si usted descubre qué es, entonces el problema será resuelto.

Answer 2

Dado que$2^n$ y$3^n$ siempre son coprime, puede dividir el problema en dos partes:

1. $3^n \vert (3n)!$ (Ya lo hizo usted mismo.)
2. $2^n \vert (3n)!$ (Pero análogamente a su propia consideración, uno ve inmediatamente que$2^n $ divide incluso$(2n)!$, que es un divisor de$(3n)!$

Esto demuestra $6^n=\text{lcm}(2^n,3^n) \vert (3n)!$.