Definir axiomáticamente una función que pueda resolver ecuaciones diferenciales de otro modo imposibles, como $i$ resuelve ecuaciones polinómicas que de otro modo serían imposibles

Question

1. Todos sabemos que las raíces de los polinomios no siempre son números reales o que cuando tomamos la raíz cuadrada de un número negativo, necesitamos definir inmediatamente un número imaginario llamado $i$ o $j$ para futuros cálculos.

2. También existe una analogía entre un polinomio y las ecuaciones diferenciales ordinarias, una de las cuales tiene una solución con número y el otro con un función .

3. De acuerdo con 1. y 2. es una pregunta directa para preguntar si hay una definición de una función llamada función imaginaria para futuros cálculos posibles? ¿O tiene sentido?

EDITAR : Como podría ser confuso con una función compleja $f(a+bj)$ Quiero una función básica como el número imaginario $i$ como solución a ecuaciones irresolubles y mediante el uso de esta función, quiero tener algunas soluciones a otras ecuaciones diferenciales irresolubles. Como para el número $i$ y un polinomio.

Answer 1

La introducción de $i$ no es, como parece sugerir la pregunta, sólo una cuestión de introducir un nuevo símbolo axiomáticamente. El contenido importante de esta ampliación del concepto de número es que, tras introducir $i$ En el caso de los números reales, se pueden seguir utilizando la mayoría de las reglas de cálculo (aunque no todas). Más concretamente, los números complejos forman un campo (aunque no un campo ordenado), por lo que podemos trabajar con la suma y la multiplicación (pero no $<$ ) en $\mathbb C$ al igual que lo hacemos en $\mathbb R$ . En este sentido, la pregunta análoga para las ecuaciones diferenciales no debería ser "¿podemos introducir axiomáticamente nuevas cuasifunciones que sirvan como soluciones?" sino "¿podemos introducir axiomáticamente nuevas cuasifunciones que sirvan como soluciones?". y retener propiedades importantes que estamos acostumbrados a utilizar para trabajar con funciones ordinarias?" El punto crucial, que requiere un verdadero trabajo matemático, es averiguar qué hay que retener (como $+$ y $\times$ en el caso de $\mathbb C$ ) y a qué renunciar (como $<$ ). Entonces, si tenemos suerte y hemos hecho buenas elecciones, podríamos desarrollar una teoría que proporcione soluciones para las ecuaciones diferenciales que no admiten soluciones ordinarias.

De hecho, se han desarrollado teorías de este tipo, que implican distribuciones, espacios de Sobolev y similares. Probablemente pueda encontrar toneladas de información sobre ellas buscando "soluciones débiles". Una de las cosas a las que se renuncia es a la noción (normalmente considerada central en la noción misma de función) de evaluar una función en un punto. Si $f$ es una distribución, a menudo no hay forma de asignar un significado a $f(a)$ para un valor específico de $a$ . Sin embargo, otras cosas, como la diferenciación, tienen mucho sentido en las distribuciones.

Para algunos tipos de ecuaciones diferenciales (creo que las elípticas), cuando se obtiene una solución débil, ésta resulta ser "mágicamente" una función ordinaria y suave, a pesar de los métodos de cuasifunción utilizados para obtenerla. Esto puede verse como algo análogo al caso en que un cálculo con números complejos conduce "mágicamente" a un número real como resultado final.

Para otros tipos de ecuaciones, las soluciones débiles son realmente necesarias y no se pueden esperar soluciones ordinarias. Por ejemplo, algunas ecuaciones que rigen la dinámica de los fluidos permiten el desarrollo de discontinuidades en las que la función o sus derivadas se vuelven indefinidas, incluso si las condiciones iniciales eran perfectamente suaves. Esto no es un defecto de las ecuaciones o de las soluciones, sino que modela un fenómeno físico real, el desarrollo de choques.

Answer 2

Hay una puramente algebraico teoría de las soluciones de las ecuaciones diferenciales que puede considerarse que proporciona el tipo de análogo diferencial que usted busca. A campo diferencial es un campo con un derivación, es decir, el mapa lineal $\rm\:y\to y'$ cumpliendo la regla del producto $\rm\:(uv)' = u'v + v'u.\:$ Dejemos que $\rm\:F\:$ sea un campo diferencial de característica $0$ Por ejemplo $\rm\,\Bbb C(x),\:$ y que $\rm\:L(y) = y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)}+\,\cdots\, + a_1 y' + a_0 y = 0,\:$ $\rm\, a_i\in F,\:$ ser un $\rm\,n$ -ecuación diferencial lineal de orden con coeficientes en $\rm\,F.\,$ Se puede demostrar que existe un "campo de división" diferencial mínimo $\rm\,K\,$ que contiene todas las soluciones de $\rm\:L(y)= 0.\:$ Sí, es cierto, $\rm\,K\,$ puede construirse a partir de $\rm\,F\,$ simplemente por formalmente colindante $\rm\,n\,$ $\rm\,F$ -soluciones lineales independientes $\rm\,y_1,\ldots,y_n$ de $\rm\,L(y)= 0,\,$ junto con todas sus derivadas, dando lugar al campo de extensión diferencial

$$\rm K\, =\, F(y_1,\ldots,y_n, y_1',\ldots, y_n',\ldots, y_1^{(n-1)},\ldots,y_n^{(n-1)})$$

Nótese que este campo es cerrado bajo diferenciación ya que la ecuación $\rm\:L(y) = 0\:$ nos permite reescribir todos los $\rm\:y_i^{(k)},\,\ k\ge n,\:$ en términos de derivadas de orden inferior. Este campo es único hasta una diferencial $\rm\,F$ -y se conoce como el Picard-Vessoit extensión de $\rm\,F\,$ asociado a $\rm\:L.\:$ (Nota: para simplificar, omito algunos tecnicismos, por ejemplo, la conservación de subcampos constantes).

Además, existe un bello análogo diferencial de la teoría de Galois que, por ejemplo, permite caracterizar algebraicamente las ecuaciones resolubles en un campo diferencial ("louivilliano") obtenido por adjunciones sucesivas de exponenciales, integrales o elementos algebraicos.

Esta teoría puramente algebraica es la base de los algoritmos constructivos empleados en los sistemas de álgebra computacional para la manipulación simbólica de muchas funciones elementales comunes.

Para una introducción a estas ideas, puede que le resulte instructivo hojear las secciones introductorias de Documentos de Michael Singer y leer sus encuestas, por ejemplo Soluciones formales de ecuaciones diferenciales, y Un esquema de la teoría diferencial de Galois, y Introducción a la teoría de Galois de las ecuaciones diferenciales lineales.

Answer 3

Su pregunta, creo, es la siguiente...

Al generalizar el concepto de "función" de alguna manera (ampliando la colección de cosas que consideramos "funciones"), podemos entonces encontrar soluciones para un conjunto más amplio de ecuaciones diferenciales. Utilizas los números complejos como analogía: al generalizar los números reales, permiten resolver un conjunto más amplio de ecuaciones polinómicas.

Yo diría que esta extensión/ampliación ya se ha hecho, en cierta medida. Tenemos teoremas que nos dicen que las soluciones existen, aunque no podamos calcularlas, o tenemos funciones que sólo pueden expresarse como límites de procesos iterativos, etc. En cierto sentido, este tipo de funciones son "no naturales" o intangibles, al igual que los números imaginarios.

Por otro lado, si algo va a ser una solución de una ecuación diferencial, no puede ser demasiado exótico y poco funcional, me parece. Para empezar, tiene que ser diferenciable.