Clasificar los conjuntos abiertos en $\mathbb R^2$

Question

En $\mathbb R$ sabemos que el conjunto abierto conectado es $(0,1)$ bajo homeomorfismo. Me pregunto cuál es la situación en $\mathbb R^2$ .

Desde $\mathbb R^2-\text{pt}\simeq S^1$ tendremos dos conjuntos abiertos $\mathbb R^2$ y $\mathbb R^2-\text{pt}$ . De la misma manera, $\mathbb R^2-\text{pt1},\dots,\text{ptn}$ , $n\geq0$ no son homeomórficos.

Entonces, ¿cuántos conjuntos abiertos hay en $\mathbb R^2$ ? Cualquier consejo es útil. Gracias.

Answer 1

No creo que se pueda clasificar esto, por ejemplo $\mathbb R^2$ - El set de cantor está abierto, y de hecho $\mathbb{R^2}$ - conjunto cerrado es abierto, y conjunto cerrado en $\mathbb R^2$ podría ser cualquier cosa, muy malo.

Como mucho se puede decir que es la unión de una bola abierta de varios radios.

Answer 2

La cardinalidad $x$ de la colección de subconjuntos abiertos en $\mathbb R^2$ es el continuo: $x=\mathfrak c=2^{\aleph_0}$ .

a) $x\geq \mathfrak c$
De hecho sólo los discos abiertos son ya en número $\mathfrak c$ .

b) $x\leq \mathfrak c$
Dejemos que $\mathcal R$ sea el denumerable colección de discos abiertos con radio racional y centro en $\mathbb Q^2$ que llamaremos discos racionales.
Dejemos que $\mathcal T$ denotan el conjunto de subconjuntos abiertos de $\mathbb R^2$ cuya cardinalidad $x=\operatorname {card} \mathcal T$ que estamos investigando, y dejemos $\mathcal P(\mathcal R)$ denotan el conjunto de subconjuntos de $\mathcal R$ .
Tenemos un mapa $U:\mathcal P(\mathcal R)\to \mathcal T$ asociar a un subconjunto $\mathcal S\subset \mathcal R$ de discos racionales su unión $U(\mathcal S)=\bigcup_{D\in S}D\subset \mathbb R^2$ un subconjunto abierto de $\mathbb R^2$ .
El mapa $U$ es suryente y como $\mathcal P(\mathcal R)$ tiene cardinalidad $\mathfrak c$ obtenemos la desigualdad requerida $ \mathfrak c \geq x=\operatorname {card} \mathcal T$ .

c) De a) y b) concluimos (utilizando la Teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein ) que efectivamente $x=\mathfrak c$ .