Valor máximo de la integral$\int_0^1e^{|t-x|}dt$ para$0 \leq x \leq 1$

Question

Definir$$f(x)=\int_0^1e^{|t-x|}dt$ $ Tengo que encontrar el valor máximo de$f(x)$ cuando$0 \leq x \leq 1$.

Para eliminar el módulo, escribí$$f(x)=\int_0^xe^{x-t}dt + \int_x^1e^{t-x}dt$ $$$f(x)=e^x\int_0^xe^{-t}dt + e^{-x}\int_x^1e^tdt$ $ Y luego$$f'(x)=e^x\int_0^xe^{-t}dt + 2 - e^{-x}\int_x^1e^tdt$ $

Esto no me ayuda mucho, ya que todavía no puedo obtener valores de$x$ para los que$f'(x)=0$.

¿Puede usted ayudarme con cómo proceder de aquí? O tal vez un método diferente?

Answer 1

Sugerencias:

1. Tenga en cuenta que la función de $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dada por $$ g(x)~:=~{\rm sgn}(x) (e^{|x|}-1) ~=~-g(-x) $$ pertenece a $C^1(\mathbb{R})$, y la derivada $$ g^{\prime}(x)~=~e^{|x|} $$ está relacionado con el OP del integrando.

2. Así OP función del $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ también pertenece a $C^1(\mathbb{R})$, $$ f(x)~:=~\int_0^1 \! dt~ g^{\prime}(t-x) ~=~ \left[g(t-x)\right)^{t=1}_{t=0} ~=~ -\left[g(x-t)\right)^{t=1}_{t=0}$$ $$~=~ -\left[{\rm sgn}(x-t) (e^{|x-t|}-1)\right]^{t=1}_{t=0}. $$

3. La derivada $$ f^{\prime}(x) ~=~ -\left[g^{\prime}(x-t)\right)^{t=1}_{t=0} ~=~ -\left[e^{|x-t|}\right)^{t=1}_{t=0} $$ es cero iff $x=\frac{1}{2}$.

4. Por lo tanto el potencial de los candidatos para el máximo de puntos que se encuentran a $x=\frac{1}{2}$ y al final de los puntos de $x=0$$x=1$. Dejamos al lector a determinar que.

Answer 2

En primer lugar, dejando $u=1-t$, usted encontrará que $f(x)=f(1-x)$, lo $f$ es simétrica en $x=1/2$.

Ahora vamos a $0<x\leq 1/2$. Entonces (deje $u=x-t$) $$ \int_0^x e^{|t-x|}\,dt=\int_0^x e^{t|0|}\,dt. $$ En el otro lado $$ \int_x^1 e^{|t-x|}\,dt < \int_x^1 e^{t|0|}\,dt $$ desde $|t-x|<|t-0|$ en dicho intervalo. Así $$ \int_0^1e^{|t-x|}\,dt<\int_0^1e^{t|0|}\,dt $$ para todos los $0<x\leq 1/2$.

De ello se deduce que el máximo se alcanza en $x=0$ (e $x=1$ debido a la simetría), y es $$ \int_0^1 e^{t|0|}\,dt = e-1. $$

Answer 3

Aquí está una no-respuesta técnica, sólo se basa en la visualización de la función. Puede no satisfacer a todos, pero me parece que a veces ayuda a pensar de esta manera en primer lugar y utilizar para guiar su comprensión de cómo componer un sistema más formal de respuesta.

Integra una simétrica en forma de V de la función, donde el vértice de la V se encuentra en $t=x$. Ustedes son libres de moverse en ese vértice izquierdo o derecho para en cualquier lugar con $x\in[0,1]$. Porque de la forma de V, es claro que el área más grande se obtiene con el vértice en cada extremo.

Tenga en cuenta que estos pensamientos podrían recordarme que no estoy necesariamente en busca de algún lugar con $f'(x)=0$. Ahora puedo ver que la respuesta implica la $x$ en el borde del dominio, no un $x$$f'(x)=0$.

Answer 4

Aquí está la respuesta hacerse con Maple:

maximize(int(exp(abs(t-x)), t = 0 .. 1), x = 0 .. 1, location);

$$e−1,{[{x=0},e−1],[{x=1},e−1]}.$$ Además. El de arriba mecanizada una rutina habitual que también se puede hacer con Maple.

1. Calculamos la integral bajo la consideración

   f := exp(x)(int(exp(-t), t = 0 .. x))+exp(-x)(int(exp(t), t = x .. 1));

$${{\rm e}^{x}} \left( 1-{{\rm e}^{-x}} \right) +{{\rm e}^{-x}} \left( - {{\rm e}^{x}}+{\rm e} \right) $$

2. Encontramos las raíces de su derivada

   solve({x >= 0, diff(f, x) = 0, x <= 1});

$$\left\{ x=1/2 \right\} $$

3. We investigate the sign of the second derivative at $x=\frac 1 2$

   evalf(eval(diff(f, x, x), x = 1/2));

$$ 3.297442541 $$ Por lo tanto, tenemos un mínimo en este punto.

4. Sigue para calcular los valores de $f$, en los extremos del intervalo de $[0,1]$ y escoger el más grande.

   eval(f, x = 0);

$$ {\rm e}-1 $$

 eval(f, x = 1);

$$ {\rm e}-1 $$