¿Qué se puede decir sobre la convergencia en$|z|=1$?

Question

Ya he encontrado el radio de convergencia de la serie de potencia$:$

ps

¿Qué sucede en el límite del disco de convergencia?

Encontré que el radio de convergencia es$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^n} {n} z^{n(n+1)}.$ y por lo tanto el disco de convergencia es$1$. Ahora he encontrado en$|z|<1$ la serie converge.

Ahora, ¿cómo puedo proceder? Por favor, ayúdame.

Gracias de antemano.

Answer 1

"He encontrado que el radio de convergencia 1 y por lo tanto el disco de convergencia es $|z|=1$" Que no es un disco, es un círculo. Supongo que te refieres a que la convergencia es claro para $|z|< 1$. Lo que sucede en el círculo de $|z|= 1$ depende del valor preciso de $z$.

"Ahora que he encontrado en $z=1$ la serie converge." Bueno, la serie en cuestión es $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}z^{n(n+1)}$. En z= 1 que es la alternancia de la serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$ que converge porque $\frac{1}{n}$ es descendente.

Cualquier punto en el círculo $|z|= 1$ puede ser escrito $z= e^{i\theta}$$0\le \theta< 2\pi$. Por eso la serie es $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} e^{n(n+1)i\theta}$