El conjunto de números primos de la forma $a^2+8b^2$, donde $a,b\in\mathbb N_+$

Question

Debido a la Brahmagupta identidad el producto de los números de la forma $a^2+nb^2$, con un tipo fijo de $n$, es en la misma forma. Para $a,b,n\in\mathbb N_+$, estos semigroups $B_n$ son generados bye conjuntos de números primos $G_n$ de la misma forma. Es bien conocido que $G_1=\mathbb P\setminus(4\mathbb N+3)$ y fáciles de ver que $G_4=\mathbb P\cap(4\mathbb N+1)$.

Mis cálculos sugieren que $G_8=\mathbb P\cap(8\mathbb N+1)$. Me gustaría una prueba o un contraejemplo?

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Answer 1

Si admitimos el resultado de que un extraño prime $p$ tiene la forma $x^2+2y^2$ iff $p\equiv 1$ o $3$ modulo $8$, entonces el resultado de la siguiente manera, como $x^2+2y^2\equiv1\pmod 8$ si $y$ es regular y $x^2+2y^2\equiv3\pmod 8$ si $y$ es impar. Por lo $p=x^2+2(2z)^2$ iff $p\equiv1\pmod 8$.

La caracterización de los números primos de la forma $x^2+2y^2$ sigue los métodos estándar en la teoría de las formas cuadráticas. Hasta equivalencia, $x^2+2y^2$ es la única positiva definida entero forma de discriminante $-8$, y una de las principales $p$ no dividiendo $-8$ está representado por algunos positiva definida formulario de discriminante $-8$ fib $-8$ es un residuo cuadrático módulo $p$, etc.

Answer 2

Vamos a utilizar que el anillo $\mathbb Z[\sqrt{-2}]$ es un dominio ideal principal.

Un % prime $p\equiv 1\pmod 8$es de la forma $a^2+2c^2$ si y solamente si es $b$. Primos de la forma $a^2+8b^2$ son primos de la forma $p=a^2+2c^2$ con el valor añadido de la condición que $p\equiv 1\pmod{8}$.

Ahora, si $p\equiv 1\pmod{8}$ y $n^2\equiv -2\pmod{p}$, $n$, así:

$$(n+\sqrt{-2})(n-\sqrt{-2})=p$$

Que $a+c\sqrt{2}=\gcd(p,n+\sqrt{-2})$, donde se toma el GCD en $\mathbb Z[\sqrt{-2}]$. Entonces $a^2+2c^2$ debe ser un divisor de $p^2$, pero no puede ser $p^2$ (¿por qué?) y no puede ser $1$ (¿por qué?)