¿Existe una biyectiva función diferenciable $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$, cuya derivada no es una función continua?

Question

¿Existe una biyectiva función diferenciable $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$, cuya derivada no es una función continua?

$x^2\sin \dfrac{1}{x}$ es un buen ejemplo para la función derivada no continuo, que no funcionará aquí, supongo.

Answer 1

La función $$f(x):=x^2\left(2+\sin{1\over x}\right)+8x\quad(x\ne0), \qquad f(0):=0,$ $ es diferenciable y estrictamente creciente $x\geq-1$, y su derivado no es continua en $x=0$. Traducir la gráfica de $f$una unidad $\to$ y ocho unidades $\uparrow$ y tienes tu ejemplo.

Answer 2

Dada cualquier función de $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con un almacén de derivados (por ejemplo,, $|f'| \leq M$, $M>0$) discontinua en algunos $x>0$ e con $f(0) = 0$, la función de $g(x) = f(x) + 2Mx$ definido en $\mathbb{R}_{+}$ da un ejemplo.

Es surjective desde $g'(x) = f'(x) + 2M \geq M$ $g$ es un límite superior de la lineal mapa de $h(x) = Mx$. Es inyectiva ya que la derivada es positiva.

Podemos, en consecuencia construir algunos muy malos ejemplos.Por ejemplo, podemos usar esto como nuestra$f$, de modo que $f'$ es discontinua en un conjunto de medida positiva.