Grupo Isomorfo a $(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})/ \langle(a,b),(c,d)\rangle$

Question

Me he encontrado con una pregunta interesante sobre los grupos cocientes de $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ :

Supongamos que $(a,b)$ y $(c,d)$ son dos elementos independientes de $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ . Supongamos también que $\gcd(a,b) =1$ . Demostrar que $(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})/ \langle(a,b),(c,d)\rangle \, \cong \, \mathbb{Z}_{|ad-bc|}$ .

He conseguido encontrar un poco sobre la interpretación geométrica de este resultado, pero para proporcionar una prueba algebraica clara creo que es necesario utilizar algo de álgebra lineal que no consigo ver. Agradecería que alguien pudiera proporcionar una prueba elemental de este hecho, quizás utilizando la teoría del Primer Isomorfismo y una elección juiciosa del mapa.

Answer 1

Existe un método estándar para encontrar los invariantes de los grupos abelianos definidos como cocientes de ${\mathbb Z}^n$ en el que se escribe la matriz asociada, y luego se realizan operaciones unimodulares de filas y columnas para transformarla a la Forma Normal de Smith. En este ejemplo la matriz es $\left( \begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)$ .

Estas operaciones no cambian el valor absoluto del determinante de la matriz. Además, como el efecto deit sobre las entradas de la matriz $x$ es sustituir $x$ ya sea por $-x$ o por $x+ky$ para alguna otra entrada de la matriz $y$ y algunos $k \in {\mathbb Z}$ no cambian el $\gcd$ del conjunto de todas las entradas de la matriz.

Así que la forma normal de Smith de la matriz en su caso debe ser $\left( \begin{array}{cc}t&0\\0&u \end{array}\right)$ , donde $t = \gcd(a,b,c,d)$ y $tu=|ad-bc|$ y luego $G \cong C_t \times C_u$ .

Así que si $\gcd(a,b,c,d)=1$ entonces $t=1$ y $G \cong C_{|ad-bc|}$ .

Answer 2

Dejemos que $G=\mathbb Z×\mathbb Z,$ $(a,b)\in G$ s.t. $gcd(a,b)=1$ . Entonces existe $a^*,b^*\in \mathbb Z$ tal que $aa^*+bb^*=1$ . Consideremos ahora el grupo $G/H$ donde $H=\langle (a,b)\rangle$ . Vamos a demostrar que $G/H\cong \mathbb Z$ .

Dejemos que $(m,n)+H\in G/H$ . Consideremos el sistema de ecuaciones, $$b^*x+ay=m$$$$ -a^*x+by=n $$ Since the value of the determinant of the coefficient matrix is $ det \begin{pmatrix}b^*&a\\ {-a^*}&b\end{pmatrix} =1 $, we have integral solutions of $ x $ and $ y $. That is, there is $ i_1,i_2 en \mathbb Z $ s.t. $ b^*i_1+ai_2=m $ and $ -a^*i_1+bi_2=n$

Así que, $(m,n)+H$ $$=(b^*i_1+ai_2,-a^*i_1+bi_2)+H$$ $$=i_1((b^*,-a^*)+H)\in \langle (b^*,-a^*)+H\rangle$$ es decir $G/H=\langle (b^*,-a^*)+H\rangle.$

Tenga en cuenta que, si $a=b$ entonces, el orden de $(1,0)+H$ es infinito. Si $a\ne b$ entonces, el orden de $(1,1)+H$ es infinito. Por lo tanto, $G/H=\langle (b^*,-a^*)+H\rangle \cong \mathbb Z$

Consideremos ahora otro subgrupo de $G$ . Sea $K=\langle (a,b),(c,d)\rangle$ , donde $(a,b)$ y $(c,d)$ son independientes (es decir $(a,b)\notin \langle (c,d)\rangle$ y $(c,d)\notin \langle (a,b)\rangle$ ) Considere el grupo $K/H$ . Tenga en cuenta que $K/H\trianglelefteq G/H$ . Considere el elemento $(ad-bc)((b^*,-a^*)+H)$ $$=(adb^*-bb^*c, a^*bc-aa^*d)+H$$ $$=(\alpha, \beta)+H,$$ donde $\alpha =adb^*-bb^*c$ y $\beta=a^*bc-aa^*d$ de $G/H$ .

Consideremos la ecuación $AX=B$ , donde $A=\begin{pmatrix}a&c\\ b&d\end{pmatrix}$ , $X=\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}\alpha \\ \beta \end{pmatrix}$ . Desde, $det$ $A=ad-bc\ne 0$ (como $(a,b)$ y $(c,d)$ son independientes), $X=A^{-1}B$ . Mediante algunos cálculos adicionales obtenemos que $X=\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\end{pmatrix}$ para algunos $u_1, u_2\in \mathbb Z$ (por una cuestión de interés, puede comprobar que $u_1=b^*d+a^*c, u_2=-1$ ). Así que, $au_1+cu_2=\alpha$ y $bu_1+du_2=\beta$ Por lo tanto, $(\alpha ,\beta )+H$$$ =(au_1+cu_2,bu_1+du_2)+H $$$$=u_1(a,b)+u_2(c,d)+H\in K/H$$

Ahora vamos a demostrar que $K/H=\langle (\alpha ,\beta )+H\rangle.$ Déjalo, $\theta +H\in K/H$ donde $\theta=t_1(a,b)+t_2(c,d)=(t_1a+t_2c, t_1b+t_2d)$ para algunos $t_1,t_2\in \mathbb Z$ .

Ahora considera la ecuación, $A^*X^*=B^*$ donde $A^*=\begin{pmatrix}\alpha &a\\\beta &b\end{pmatrix}$ , $X^*=\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}$ , $B^*=\begin{pmatrix}t_1a+t_2c\\ t_1b+t_2d \end{pmatrix}$ . Aquí $det$ $A^*=ad-bc\ne 0$ . Así que, $X^*=(A^*)^{-1}B^*$ . Mediante otros cálculos obtenemos $X^*=\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\end{pmatrix}$ para algunos $v_1,v_2\in \mathbb Z$ (por una cuestión de interés puede comprobar que $v_1=-t_2, v_2=t_1+t_2(a^*c+b^*d)$ ) Por lo tanto, $$t_1a+t_2c=\alpha v_1+av_2$$$$ t_1b+t_2d=\Nbeta v_1+bv_2 $$ $ \N - Flecha derecha \N -theta +H=(\alpha v_1+av_2, \beta v_1+bv_2)+H $$$=v_1(\alpha ,\beta )+H\in \langle (\alpha ,\beta )+H\rangle$$ Así que, $K/H=\langle (\alpha ,\beta )+H\rangle$

Ahora, $H\trianglelefteq K\trianglelefteq G$ donde $$G/H=\langle (b^*,-a^*)+H\rangle \cong \mathbb Z$$ y $$K/H=\langle (ad-bc)(b^*,-a^*)+H\rangle \cong \mathbb (ad-bc)Z$$ Entonces, a partir del teorema del isomorfismo, obtenemos $$(G/H)/(K/H)\cong G/K$$$$ \Flecha de la derecha \Nmathbb Z×mathbb Z/\N-Ángulo (a,b),(c,d)\N-Ángulo \Ncong \Nmathbb Z_{mid ad-bc\mid}$$