Encuentre $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt 1 + \sqrt 2 + \dots + \sqrt{n}}{n\sqrt{n}}$ .

Question

$$\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt 1 + \sqrt 2 + \dots + \sqrt{n}}{n\sqrt{n}}$$

$$\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt 1 + \sqrt 2 + \dots + \sqrt{n}}{n\sqrt{n}} =\lim_{n\to \infty} \dfrac1{n}\sum^{n}_{k = 1} \sqrt{\dfrac k n} $$

Buscando esta pregunta he encontrado, Convertir la suma infinita en integral .

Como en la respuesta aceptada, primero comparé mi serie con LRAM,

$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\frac 1n\sum_{i=1}^n f\left(a+\frac{b-a}n i \right)$$

Tengo $a = 0$ , $b = 1$ et $f(x) =\sqrt{x}$ Así que..,

$$\int_0^1 \sqrt{x}\ dx = \dfrac2 3$$ debería ser la respuesta.

¿Hay algún método más sencillo para hacer esta suma? No he aprendido este método para hacer sumas infinitas por lo que no puedo utilizarlo.

Answer 1

Por el teorema de Stolz-Cesaro , uno tiene \begin{eqnarray} &&\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt 1 + \sqrt 2 + \dots + \sqrt{n}}{n\sqrt{n}}\\ &=&\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{n+1}}{(n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt n}\\ &=&\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{n+1}}{(n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt n} \dfrac{(n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt n}{(n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt n}\\ &=&\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{n+1}[(n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt n]}{(n+1)^3-n^3}\\ &=&\frac23. \end{eqnarray}

Answer 2

Imagen......................................

$$ \frac{2}{3} n \sqrt n < \mbox{SUM} < \frac{2}{3} \left( \; (n+1) \sqrt {n+1} \; - \; 1 \right) \; < \; \frac{2}{3} \left( \; (n+1) ( 1 +\sqrt n) \; - \; 1 \right) = \frac{2}{3} \left( \; n \sqrt n + n + \sqrt n \right) $$ $$ \frac{2}{3} n \sqrt n < \mbox{SUM} < \frac{2}{3} \left( \; n \sqrt n + n + \sqrt n \right) $$

Para quien esté preocupado por la pequeña estimación anterior, $$ n + 1 < n + 2 \sqrt n + 1, $$ $$ \sqrt {n+1} \; \; < \; \; 1 + \sqrt n. $$

Answer 3

Aprender nuevas técnicas es bueno:

Método para expresar la serie infinita como integral definida:

$1.$ Expresar la serie dada en la forma $\sum\frac{1}{n}f(\frac{r}{n})$ .

$2.$ Entonces el límite es su suma cuando $n\to \infty$ es decir $\lim_{n\to\infty}\sum\frac{1}{n}f(\frac{r}{n})$

$3.$ Sustituir $\frac{r}{n}$ por $x$ et $\frac{1}{n}$ por $dx$ et $\lim_{n\to\infty}\sum$ por $\int$

$4.$ El límite superior y el inferior son valores límite de $\frac{r}{n}$ para el primer y último trimestre de $r$ respectivamente.

Por ejemplo: $\sum_{r=1}^n=\int\frac{1}{n}f(\frac{r}{n})=\int_0^1f(x).dx$ .

Ahora, veamos tu pregunta:

$\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt 1 + \sqrt 2 + \dots + \sqrt{n}}{n\sqrt{n}}=\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\sum_{r=1}^n\sqrt{\frac{r}{n}}=\int_0^1\sqrt{x}=\frac{2}{3}$ .