Encontrar todos los enteros $n>1$ tal que $\frac{2^n+1}{n+1}$ es un número entero.
Segundo intento : me gustaría saber si es correcta o no. Gracias.
Desde $\frac{2^n+1}{n+1}$ para todos los enteros $n>1$ es equivalente a $\frac{2^{n-1} \;+1}{n}$ para todos los enteros $n>2$,
vamos a encontrar todos los números enteros $n>2$ tal que $\frac{2^{n-1}+1}{n}$ es un número entero en su lugar.
Deje $n=\displaystyle\prod_{i=1}^l p_i^{k_i}$, donde $k_i \geq 1$, $p_i \in \text{prime}$.
Deje $p_j$ ser un primo tal que $p_j\mid n$ $p_j$ mínimo $v_2(p_j-1)$.
Desde $n \mid 2^{n-1}+1$, lo $n\in$ impar, entonces $p_j\in$ impar.
por lo $v_2(p_j-1) \geq 1$, es decir, no existe $r_j, m_j \in \mathbb{N}$ $m_j \in \text{odd}$ tal que $p_j-1=2^{r_j}\cdot m_j$
tenemos $p_j \equiv 1 (\bmod{2^{r_j}})$
Desde $v_2(p_j-1)$ es mínimo y $n\in$ impares, por lo $n \equiv 1 (\bmod{2^{r_j}})$
entonces podemos escribir $n$ en el formulario, $n = 2^mt+1$ donde $m, t \in \mathbb{N}$ $m\geq r_j$
por lo $n \equiv -1 (\bmod{2^m})$
$-1 \equiv 2^{n-1} \equiv 2^{ 2^m \cdot t}\equiv 2^{ 2^m\cdot t\cdot m_j} (\bmod{p_j})$, ya que el $m_j$ es impar,
$-1 \equiv 2^{(2^{r_j} \cdot m_j) 2^{m-r_j}\;\cdot t} (\bmod{p_j})$
$-1 \equiv 2^{(p_j-1) 2^{m-r_j}\;\cdot t} (\bmod{p_j})$
$-1 \equiv 1 (\bmod{p_j})$ ,$p_j=2$, lo que contradice $p_j\in$ impar.
Por lo tanto, no hay tal $n$.
