Puede $\log_a(-b)$ ¿se puede resolver utilizando números complejos/imaginarios?

Question

Trabajando en Álgebra 2, y he leído que no se puede tomar el logaritmo de un número negativo como $\log_2(-5)$ . También he hecho algunas ecuaciones que implican soluciones complejas de ecuaciones cuadráticas (como " $5i+3$ ", etc). Me preguntaba (más que nada por curiosidad en este punto) si, en matemáticas más avanzadas, hay una manera de tomar el logaritmo de un número negativo usando números complejos sin violar las leyes del universo (y, si es así, cómo se haría).

Answer 1

Escriba el valor $x = a + b i = r e^{i \theta}$ es decir, en forma polar ( $r = \sqrt{a^2+b^2}, \theta$ es el ángulo del número complejo $x$ ).

A continuación, puede definir $\log(x) = \log r + i \theta$ .

(*) $\theta$ no se especifica de forma única; si se suma o resta cualquier múltiplo de $2 \pi$ , sigues obteniendo una definición válida de logaritmo.

Se puede comprobar que esto concuerda con el logaritmo regular observando para números positivos $r=a,\theta = 0$ . Para los números negativos, $r=-a, \theta = \pi$ .

Para un análisis más detallado, véase este wikipedia artículo.

Answer 2

Sí, lo es: $\log_2(-5)=\frac{\ln(-5)}{\ln(2)}=\frac{1}{\ln(2)}(\ln(5)+i\pi)=\log_2(5)+i\frac{\pi}{\ln(2)}$

En general: $$\operatorname{Log} z=\log|z|+i\operatorname{Arg}(z)$$ donde $\operatorname{Arg}$ es el valor principal del argumento de $z$ . De verdad $\operatorname{Arg}(x)=\begin{cases}0\text{ if }x\ge0\\\pi\text{ if }x<0\end{cases}$

Answer 3

¡Gracias a todos! Muchas de las explicaciones de alto nivel (tanto en Wikipedia como en las respuestas de aquí) me sobrepasan (ya que sólo estoy en Precálculo/Algebra2 en este momento), pero creo que he conseguido una idea general de una respuesta a partir de lo que la gente ha publicado (aunque alguien debería corregirme si me equivoco) y pensé en actualizar a la gente sobre mi comprensión en este punto.

Por lo que he averiguado, la solución implica algo llamado "logaritmos complejos" que puede tener múltiples respuestas. He buscado logaritmos complejos en YouTube y he encontrado este vídeo (que sólo he entendido parcialmente): https://www.youtube.com/watch?v=fMo9TQIVbEo . He visto que el campo de las matemáticas en el que se encuadra esto se llama "análisis complejo" (o al menos creo que lo es).

Con esa información, fui a Google para encontrar una calculadora que puede hacer problemas de análisis complejos y escribí mi problema en ella. Entendiendo que puede haber múltiples respuestas a este tipo de problemas (y esto sólo muestra una de ellas) este fue el resultado:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=log2(-5)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2%5E((log(5)%2Bi*pi)%2Flog(2))%2Flog(2)))

Entonces, asumiendo que todo esto es correcto, ¿al menos una respuesta sería " $\log_a(-b) = \frac{\ln(b)+i\pi}{\ln(a)}$ " ?