Eje hueco vs. Eje macizo: ¿Cuál es más resistente a la torsión?

Question

Recuerdo que una vez me dijeron que las varillas/ejes huecos tienden a resistir más la torsión que las varillas/ejes sólidos... pero no me lo dijeron por qué este es el caso.

Ahora que soy un poco mayor, pasando este "hecho" por mi mente, mi intuición me dice que un sólido debería ser capaz de resistir la torsión mejor que una hueca (suponiendo que la pared de la hueca sea lo suficientemente gruesa como para soportar que se le hagan "hoyos" en el proceso).

Pero necesito que esto se verifique.

Una rápida búsqueda en Google no condujo a ninguna respuesta (tal vez sí, pero no pude comprender la mayoría de las cosas que hay... muy fuera de tema para un estudiante de secundaria).

---

Physics.SE tiene este puesto que es similar a mi pregunta; sin embargo, ese post requiere una comparación entre la resistencia de un eje hueco y la de un eje sólido a flexión mientras que yo quiero saber sobre su resistencia a torsión .

Entendí (vagamente) las ideas expresadas en las respuestas allí (todavía estoy tratando de entender el "segundo momento de inercia")... pero no estoy seguro si esas ideas se aplican a la torsión así como a la flexión de los ejes.

---

¿Puede alguien decirme (de forma simplificada...no también aunque simplificado, no quiero perderme todo lo bueno) ¿por qué un eje hueco tiende a resistir mejor la torsión que uno sólido?

(Ya que se mencionó en la pregunta que enlacé)

Los dos posibles casos que se plantean son : $1)$ Varillas macizas y huecas de las mismas diámetro , $2)$ Varillas macizas y huecas de las mismas masa .

Answer 1

Una varilla maciza será más rígida (tanto en torsión como en flexión) que una varilla hueca del mismo diámetro. Pero no será mucho más rígido porque casi toda la rigidez proviene de las capas exteriores de la varilla (de esto se trata todo el asunto del segundo momento del área). Por tanto, si se dispone de una determinada cantidad de material (una determinada masa, o una determinada masa por unidad de longitud), en lugar de fabricar una varilla con ella, se obtiene una estructura más rígida fabricando un tubo de mayor diámetro. El equilibrio entre el diámetro y el grosor de la pared es complicado: los tubos de mayor diámetro con paredes más finas tienden a ser más rígidos, pero mucho más frágiles y tienen modos de fallo más desagradables (más abruptos), y a medida que las paredes se vuelven muy finas creo que vuelven a ser menos rígidas, ya que se vuelven tan frágiles que se colapsan bajo cargas ordinarias.

Pero lo que la gente quiere decir con que los tubos son más rígidos es que son más rígidos para una cantidad determinada de material no más rígido para un diámetro determinado.

(Los ingenieros dedican mucho tiempo a reflexionar sobre este tema y hay mucha literatura al respecto. Lamentablemente, no tengo ninguna indicación al respecto, ya que lo poco que sé sobre este tema viene de hablar con gente sobre cuadros de bicicleta y diseño de chasis de coches).

---

Una versión anterior de esta respuesta utilizaba erróneamente el término "fuerza" para referirse a la "rigidez". Esta es la diferencia, tal y como yo la entiendo (aviso: no soy ingeniero):

• fuerza te dice en qué momento algo fallará, ya sea por completo o deformándose de alguna manera de la que luego no se recupera (pasando su límite elástico, en otras palabras);
• rigidez te indica cómo va la deformación del objeto a medida que se ejerce la tensión sobre él, es básicamente la pendiente de la sección lineal de la curva tensión-deformación antes de que se alcance el límite proporcional.

Creo que la definición de fuerza que he utilizado depende ligeramente del régimen: algunos componentes de ingeniería son diseñado que se deforme permanentemente durante el uso (piense en las zonas de deformación de los coches, por ejemplo), y para eso necesitaría una definición de resistencia más complicada.

Por último, debe quedar claro que la rigidez y la resistencia no son lo mismo: algo puede ser muy rígido pero tener una tensión máxima bastante baja.

Answer 2

Se puede cuantificar Respuesta de tfb a través del segundo momento de la sección transversal del eje. Dejemos que el $z$ eje se encuentran a lo largo del eje, y supongamos que este último se somete a torsión $\tau$ sobre el $z$ eje. Entonces, si la longitud del eje es $\ell$ el giro angular $\varphi$ a lo largo de la longitud del eje viene dada por:

$$\varphi = \frac{\ell\,\tau}{G\,J_z}$$

donde $G$ es el módulo de cizallamiento (que mide el del material resistencia a la torsión) y $J_z$ el segundo momento del área. El mayor $J_z$ es para la sección transversal, menos pronunciada es la torsión.

El segundo momento del área de un disco de radisu $r$ alrededor de un eje normal a él y a través de su centro es:

$$J_z = \pi \frac{r^4}{2}$$

$J_z$ es aditivo para las regiones, por lo que para una región en forma de anillo de radio interior y exterior $r_i$ y $r_o$ es $\pi \frac{r_o^4-r_i^4}{2}$ .

Deberías ser capaz de ver fácilmente, y si no puedes hacer algunos números para hacerlo - la eliminación de la mayor parte de la parte interna de la sección transversal hace muy poca diferencia para $J_z$ y, por tanto, poca diferencia en la rigidez torsional del eje.

Answer 3

La rigidez depende de la concentración del material presente cerca del centro de gravedad. Si el material tiene una alta concentración de material cerca del centro de gravedad, entonces es menos rígido (eje sólido), pero en el eje hueco la concentración de material es menor cerca del centro de gravedad, por lo que es más rígido. Si alguien sabe la respuesta .....

Answer 4

El caso de la misma masa puede entenderse comparando el par por unidad de giro para ambos cilindros ( https://i.stack.imgur.com/JS1no.jpg )