¿Un nuevo $4$-dimensional del sistema de numeración?

Question

Quiero crear un número nuevo sistema con las siguientes reglas:

1. El sistema numérico 4-dimensional sobre los reales, con $\{1,i,j,k\}$ como base.
2. $i^2=j^2=k^2=1$
3. $ij=k$
4. El sistema numérico es un anillo conmutativo.

Es este sistema de número válido? Si es así, ¿tiene un nombre? Y si no, ¿por qué no? He tratado de buscar en línea, pero lo más cerca que se podía obtener era el hiperbólico cuaterniones (que violar la regla 4):

Answer 1

Un anillo $S$ es automáticamente isomorfo a 4 veces el producto Cartesiano $\Bbb{R}\times\Bbb{R}\times\Bbb{R}\times\Bbb{R}$ con la adición y la multiplicación hecho de las componentes. La razón es la siguiente. La multiplicación en cualquier anillo que también es un 4-dimensional espacio vectorial puede ser representado con $4\times4$-matrices.

• Debido a que la base de los elementos de $1,i,j,k$ tiene orden finito, el correspondientes matrices son diagonalizable.
• Porque el orden es uno o dos, los valores propios son $\pm1$, y son diagonalizable mediante un cambio de las bases de la matriz con coeficientes reales.
• Debido a que la base de los elementos de viaje, esas matrices son automáticamente simultáneamente diagonalizable.
• Sólo hemos incorporado $S$ en el anillo de la diagonal $4\times4$ real de las matrices. Debido a $S$ es de 4 dimensiones, la inclusión es un isomorfismo, y sabemos lo $S$ parece.

---

Una explícita isomorfismo está dada por $$ \begin{aligned} 1&\mapsto I_4,\\ i&\mapsto diag(1,-1,1,-1),\\ j&\mapsto diag(1,1,-1,-1),\\ k&\mapsto diag(1,-1,-1,1). \end{aligned} $$ El lector que ha tomado un curso en teoría de la representación se reconoce a estos como la que proviene de los personajes de la Klein Viergruppe $V_4$. Esto explica la conexión entre mi respuesta y la de Chris Culter.

Answer 2

Este sistema tiene un nombre: $\mathbb R[V_4]$. En otras palabras, es el anillo de grupo de Klein cuatro-grupo sobre los números verdaderos.

Answer 3

Si desea que el nuevo sistema de "agradable" propiedades, a continuación, las posibilidades son muy limitadas por el Teorema de Frobenius.

Siendo más precisos acerca de "bonito", si desea que un campo de modo que el familiar propiedades tales como la división y conmutativa de la multiplicación se conservan, a continuación, la única dimensión finita, la extensión de los reales es el de los números complejos.

Si desea conservar la división, pero están dispuestos a sacrificar la conmutatividad, a continuación, usted tiene una mayor dimensión finita de extensión: los cuaterniones.

Lo tuyo no es uno de ellos, así que debe haber algún "no es agradable" de la propiedad. Como otros han dicho, esto es la presencia de divisores de cero. En su sistema, usted no podría deducir $x = y$ $ax = ay$ incluso si usted sabía que $a \neq 0$.

Se puede ir aún más, pero se necesita dar más agradable propiedades. E. g. el Octonians y Sedenions pero que ahora han perdido la asociatividad.