Estoy tratando de encontrar cómo expresar lo siguiente:
Creo que sería algo así:
$$(A - (B \cup C)) \cup (B - (A \cup C)) \cup (C - (A \cup B))$$
Pero, ¿tiene esto un nombre? ¿Una forma más sencilla de expresarlo? Ya que esta expresión crece rápidamente mientras uno añade más conjuntos.
No conozco un nombre para esto, pero una forma de expresarlo sería
$$\bigcup\limits_i A_i \setminus \bigcup\limits_{i\ne j} \left(A_i \cap A_j\right)$$
No necesitas especificar intersecciones más complicadas, porque ya están incluidas en lo que se resta aquí. Esto capta la idea de que son intersecciones que no quieres.
Esto también permite una descripción sucinta de la misma en palabras: "la unión menos las intersecciones por pares".
Probablemente pretendías $\bigcup\limits_i A_i \setminus \bigcup\limits_{i\ne j} (A_i\cap A_j)$ pero el hecho de omitir los paréntesis asume precedencias que no creo que estén universalmente acordadas (creo que la mayoría de la gente interpretaría $X\setminus Y\cap Z$ como $(X\setminus Y)\cap Z$ o, más bien, insiste en utilizar los paréntesis de la forma que sea).
Creía que estaba claro por los tamaños relativos de la copa y el tapón, pero puedo añadir paréntesis si sirve de ayuda.
Esto es similar, pero distinto, a la diferencia simétrica .
Si su colección es $\mathcal{C}=\{A,B,C,\ldots\}$ entonces se podría escribir este conjunto con una notación engorrosa del tipo $\left\{a\in\bigcup \mathcal{C}\left|\,\left|\left\{A\in\mathcal{C}\mid a\in A\right\}\right|=1\right.\right\}$ . Probablemente sería más claro utilizar palabras como " $\nabla \mathcal{C}$ denotará el conjunto de todos los elementos que están en exactamente un conjunto de la colección $\mathcal{C}$ .
Supongo que si defines $F$ como la suma de las funciones características de cada conjunto, entonces estamos viendo $F^{-1}(1)$ .
@GTonyJacobs Ya he votado tu respuesta, pero considera añadir esa alternativa a tu respuesta; es un enfoque ordenado.
Dado que la imagen del OP no contenía un cuadrado que "sostuviera" los círculos, construimos pedantemente nuestro propio conjunto universal $U$ ,
$\tag 1 U = \bigcup\limits_{i=1}^n A_i$
y que $\chi_{A_i}$ sea el correspondiente funciones características (indicadoras) .
Set
$\tag 2 C = \sum_{i=1}^n \chi_{A_i}$ .
Es fácil ver que la función simple $C$ sólo puede tomar valores contenidos en $\{1,2,\cdots,n\}$ Así que
$\tag 3 C:U \to \{1,2,\cdots,n\}$
La imagen inversa $C^{-1}(\{1\})$ consiste en los elementos de $U$ que pertenecen exactamente a uno de los conjuntos $A_i$ en la unión (1).
Obsérvese que, en general, esta imagen inversa puede ser el conjunto vacío. Consideremos por ejemplo estos tres conjuntos,
$\qquad A_1 = \{1,2\}$ , $A_2 = \{2,3\}$ y $A_3 = \{3,1\}$ .
Nota: Si elige un conjunto universal más grande que contenga todos los $A_i$ entonces $C(x)$ puede tomar el valor $0$ . Eso ocurriría siempre que $x \notin \bigcup A_i$ . En la práctica, lo mejor sería escribir cualquier función simple expresada como en (2),
$\tag 4 C:U \to \{0,1,2,\cdots,n\}$
Esa es la metodología común.
¿Por qué un universal ¿se puede expresar como una unión? Para definir las funciones características se necesita un universo que contenga todos los $A_i$ pero, desde luego, no tiene por qué ser su unión. En consecuencia, debe permitir $0$ a imagen y semejanza de $C$ . (La respuesta sigue siendo la imagen inversa por $C$ de $\{1\}$ ).
No conozco un nombre específico para este tipo de expresión, pero una forma más sencilla de escribirla sería utilizar uniones contables:
En lugar de etiquetar sus tres (o en casos más grandes, $n$ ) se establece por $A$ , $B$ y $C$ , etiquételos como $A_1$ , $A_2$ y $A_3$ .
Entonces para $n$ conjuntos, podrías escribir:
$$\bigcup\limits_{i=1}^n \left(A_i - \bigcup\limits_{1 \leq i \leq n; \, j \neq i} A_j\right)$$
o, alternativamente:
$$\bigcup\limits_{i=1}^n\bigcap\limits_{1 \leq i \leq n; \, j \neq i} \left(A_i - A_j\right)$$
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¿No es esa la diferencia simétrica $A\triangle B\triangle C$ ?
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@ClementC. No, la diferencia simétrica tiene $A\cap B\cap C$ en él.
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@MarkS. Tienes razón, fallo mío.
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@ClementC. En un principio pensé que sí, pero no es así. Comprueba el diagrama de $ A \Delta B \Delta C $ en este artículo de la wikipedia: es.wikipedia.org/wiki/Diferencia_simétrica
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En inglés, "The elements in one and only one of the sets" o "in exactly one set". Se podría expresar cuasi formalmente como { $x$ | $x$ está exactamente en uno de $A$ , $B$ o $C$ .}
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Si se convierten los conjuntos en variables booleanas, esto será exactamente 1-en-k monótono SAT. Sí, una sola cláusula. Ah, me perdí el comentario de Davidslor.
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@Davislor: Esta es, con mucho, la descripción más fácil. Gracias.