Subsecuencia convergente de $\sin(n)$

Question

Según el teorema toda secuencia acotada en $R$ tiene una subsecuencia convergente. ¿Puede alguien hacer una subsecuencia convergente de $\sin{n}$ .

Answer 1

Aquí hay uno semiexplícito. Los convergentes de la fracción continua de $\pi$ son una secuencia de aproximaciones racionales $p_n/q_n$ con $p_n$ , $q_n$ enteros positivos que tienden a $\infty$ , $$ \left| \pi - \dfrac{p_n}{q_n}\right| < \dfrac{1}{q_n^2}$$ y por lo tanto $$|\sin(p_n)| = |\sin(p_n - \pi q_n)| \le |p_n - \pi q_n| < 1/q_n \to 0 \ \text{as}\ n \to \infty$$

Answer 2

Comience con $a_1=1$ , dándole a usted $\sin(1)$ . Ahora defina $a_{n+1}$ para ser el menor número entero $k$ tal que

• $k>a_n$
• $0<\sin(k)<\sin(a_n)$

La segunda condición puede cumplirse ya que $\{\sin(n)\}$ es denso. Entonces $\{\sin(a_1),\sin(a_2),\ldots\}$ es una secuencia de este tipo. Es decreciente y acotada por debajo, por lo que converge a algo (tal vez $0$ ).

Esta es una construcción recursiva, y tal vez usted está esperando una secuencia definida explícitamente en su lugar con alguna fórmula para el $n$ a término. Si eso es lo que busca, podría modificar la pregunta.