Recordemos que un espacio topológico $(X,\tau)$ donde $\tau$ denota la colección de subconjuntos abiertos de $X$, es Hausdorff si para cualesquiera dos puntos de $x,y\in X$, existen abrir conjuntos de $U_x,U_y\in\tau$ tal que $U_x\cap U_y=\varnothing$, $x\in U_x$, y $y\in U_y$.
Ahora, como para el particular ejemplo: elija cualquiera de los dos puntos de $x,y\in\mathbb R$. El ordinario de la topología Euclidiana sobre $\mathbb R$ es de Hausdorff. Por lo tanto, existen abiertos disjuntos conjuntos de $U_x$ $U_y$ tal que $x\in U_x$$y\in U_y$. Ahora tenga en cuenta que $U_x=U_x\cup(\varnothing\cap\mathbb Q)\in T$, debido a que el conjunto vacío es abierto en la topología usual. Del mismo modo, $U_y\in T$. Por lo tanto, $U_x$ $U_y$ están abiertas en $T$, lo que implica que $T$, también, es una topología de Hausdorff.
También debe comprobar que la unión de forma arbitraria muchos miembros de $T$$T$. Para ello, supongamos que $\{W_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$ es una colección de $T$-abrir sets, donde $A$ es un no-vacío conjunto de índices (puede ser finito, countably infinito, o uncountably infinito). Desde $W_{\alpha}\in T$ por cada $\alpha\in A$, $W_{\alpha}=U_{\alpha}\cup(V_{\alpha}\cap\mathbb Q)$ para algunos $U_{\alpha},V_{\alpha}$ abierta en $\mathbb R$. Entonces, no es difícil comprobar que
$$\bigcup_{\alpha\in A} W_{\alpha}=\left(\bigcup_{\alpha\in A} U_{\alpha}\right)\cup\left[\left(\bigcup_{\alpha\in A} V_{\alpha}\right)\cap\mathbb Q\right].$$
Ahora, $\bigcup_{\alpha\in A} U_{\alpha}$ $\bigcup_{\alpha\in A} V_{\alpha}$ están abiertas en $\mathbb R$, lo que implica que $\bigcup_{\alpha\in A} W_{\alpha}\in T$.
[Advertencia: En general, es no suficiente para comprobar esta propiedad para la unión de dos conjuntos. Es lógicamente válido para extender el caso de la unión de dos conjuntos a la unión de un número infinito de conjuntos; usted debe trabajar con un número infinito de conjuntos desde el principio. Es válido, sin embargo, para extender el dos-conjunto de resultados para el caso de la unión de finitely muchos conjuntos: sólo tiene que utilizar la inducción para probar esto.]
Como intersecciones finitas, es suficiente para comprobar el caso de la intersección de los dos únicos conjuntos, y el general finito caso de la siguiente manera fácilmente por inducción (cf. los números entre paréntesis comentario anterior). Así que vamos a $W_1,W_2\in T$. Entonces
\begin{align*}
W_1=&\,U_1\cup(V_1\cap\mathbb Q),\\
W_2=&\,U_2\cup(V_2\cap\mathbb Q),
\end{align*}
donde $U_1,U_2,V_1,V_2$ están abiertas en $\mathbb R$. A continuación,
\begin{align*}
W_1\cap W_2=&\,(U_1\cap U_2)\cup(U_1\cap V_2\cap \mathbb Q)\cup(U_2\cap V_1\cap \mathbb Q)\cup(V_1\cap V_2\cap\mathbb Q)\\
=&\,\underbrace{(U_1\cap U_2)}_{\text{open in %#%#%}}\cup\{\underbrace{\left[(U_1\cap V_2)\cup(U_2\cap V_1)\cup(V_1\cap V_2)\right]}_{\text{open in %#%#%}}\cap\mathbb Q\}.
\end{align*}
(Yo se lo dejo a usted para comprobar si el conjunto de álgebra es correcta.) Por lo tanto, $\mathbb R$ porque puede ser representado en la forma deseada.
Por último, conforme a la definición de un espacio topológico, usted debe también comprobar que $\mathbb R$$W_1\cap W_2\in T$. Este es un ejercicio fácil.
