Pregunta natural acerca de las funciones armónicas

Question

Deje $U$ abierto, acotado y convexo conjunto en $R^n$. Deje $(u_k)_{k \in N}$ una sucesión de funciones definidas en $\overline{U}$. Supongamos que cada una de las $u_k \in C(\overline{U}) \cap C^{2}(U)$ y armónico en $U$. Suponga demasiado $0 \leq u_{k+1}(x) \leq u_{k}(x) \leq 1$ todos los $x \in \overline{U}$, y para todos los $k$.

Sé cómo probar que la función de $u(x) = \lim u_k(x), x \in \overline{U}$ $C^{2}(U)$ y sé cómo demostrar que $\Delta u = 0$$U$ . Mi duda es : $u \in C(\overline{U})$ ? Traté de probar este un buen tiempo .. Pero sin éxito. No sé si es cierto. Si es así, me va a ayudar mucho. Alguien me puede dar una ayuda con mi duda?

gracias de antemano

Answer 1

No creo que esto es cierto. Considere, por ejemplo, el open cube $Q=(0,1)\times (0,1)$. Definir en el límite de $Q$ una función de $v$ por el siguiente: $v(x)=1$ $x\in Q_1=\{(z,1):\ z\in [0,1]\}$ $v(x)=0$ en el resto.

Considere el problema

$$\etiqueta{1} \left\{ \begin{array}{rl} \Delta u=0 &\mbox{ if %#%#%} \\ u=v &\mbox{ if %#%#%} \end{array} \right. $$

Problema $x\in Q$ tiene una única solución a $x\in \partial Q$, que es armónico en $(1)$. Ahora, para cada una de las $u$, definir una secuencia de funciones de $Q$ por el siguiente: $n=1,2,...$,

$v_n\in H^{1/2}(\partial Q)\cap C(\partial Q)$ $v_n(x)\le v_{n+1}(x)$,

$v_n(x)=1$ $x\in \{(z,1):\ z\in [1/2^{n+1},1-1/2^{n+1}]\}$,

$0\le v(x)\le 1$ $x\in \{(z,1):\ z\in [1/2^{n+2},1/2^{n+1}]\cup[1-1/2^{n+1},1-1/2^{n+2}]\}$.

Para cada una de las $v_n(x)=0$ no hay una única solución $x\in \{(z,1):\ [0,1/2^{n+2}]\cup [1-1/2^{n+2},1]\}$ a el problema

$$ \left\{ \begin{array}{rl} \Delta u=0 &\mbox{ if %#%#%} \\ u=v_n &\mbox{ if %#%#%} \end{array} \right. $$

La secuencia de $n$ es armónica en $u_n$ y es continua en a $x\in Q$. Por el principio del máximo $x\in \partial Q$ todos los $u_n$ $Q$ todos los $\partial Q$.

Ps: es posible que la secuencia de arriba $u_n(x)\le u_{n+1}(x)$ no es continua en el límite, porque $n$ no es regular, sin embargo, esto puede ser fácilmente corregido, considerando regular conjuntos, y aplicando el mismo razonamiento, como aquí, por ejemplo, uno podría considerar la posibilidad de regularizar $u_n(x)\to u(x)$ en las esquinas, o se podría considerar un círculo, y definir $x\in \overline{Q}$ a ser diferente si usted toma los puntos en la mitad superior de la parte o en la mitad inferior de la parte del círculo.

Answer 2

No. Considerar el abrir de la unidad de disco $\mathbb{D}$$\mathbb{R}^2$. Deje $f_\infty$ ser la función característica de un intervalo en $\partial\mathbb{D}$, es decir, el hemisferio superior. Deje $f_k:\partial\mathbb{D}\to\mathbb{R}$ ser monótona disminución de la secuencia de las funciones lisas convergentes a $f_\infty$ en un caso de norma, por ejemplo, una secuencia de $\epsilon$-mollifications de $f_\infty$.

Para cada una de las $k$, tenemos una función armónica $u_k$ obtenido mediante la integración de la distribución de Poisson kernel $P$ contra $f_k$. Por el principio del máximo, $0\leq u_{k+1}\leq u_k\leq 1$. Estos convergen a $$u_\infty = \int_{\partial\mathbb{D}} f_\infty(\theta)P(\theta,z)\ d\theta$$ que se extiende a$f_\infty$$\partial\mathbb{D}$, que es discontinua.