$X$ es una matriz. Encontrar la matriz $A, B$ tal que $X=AB-BA$

Question

Deje $X \in \mathbb{R}^{3\times 3}$ ser una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal (de izquierda a derecha) $1$, $y$ y $-1$. Para qué valores de a $y$ existen matrices $A,B \in \mathbb{R}^{3\times 3}$ tal que $AB-BA=X$?

Hasta el momento el uso de las propiedades de la función de trazado, he deducido que el $y$ no puede ser distinto de cero, ya que $AB-BA=X$ implica $\text{tr}(AB-BA)=\text{tr}(X)$. Desde $\text{tr}(AB-BA)=0$, la suma de los elementos de la diagonal de a$X$$0$. Por lo tanto,$1+y+(-1)=0$. ¿Cómo puedo demostrar que no existe o que no existe $A,B$ tal que $AB-BA=X$ donde $y=0$. El método habitual de calcular el producto y la diferencia a encontrar la solución parece ser muy tedioso. Yo sería feliz si alguien puede sugerir un método más corto. Gracias.

Answer 1

De hecho, es un hecho que una matriz $X$ puede ser expresado en la forma $X = AB - BA$ si y sólo si $X$ tiene traza de cero, como se prueba aquí, por ejemplo.

Yo no necesariamente el uso de toda la potencia de la prueba aquí, sin embargo. Desde $X$ tiene en su mayoría cero, mi apuesta sería que debemos tratar de hacer $A$ $B$ fuera de la mayoría de $0$s, posiblemente de $0$s y $1$s.

Y, con algunos experimentos de este tipo, usted encontrará que realmente tenemos el ejemplo $$ A = \pmatrix{0&0&1\\0&0&0\\0&0&0}, \qquad B = a^T $$ Compruebe que $AB - BA$ produce el resultado deseado.

Answer 2

(Probablemente debe ser un comentario, pero no tengo suficientes puntos de reputación para comentar).

Tenga en cuenta que sólo necesita producir una solución en el caso de $y=0$ a existencia.

Si usted tiene una formación en física y específicamente la mecánica cuántica, entonces es capaz de llegar a una solución de ejemplo. Creo que "Oscilador armónico del quántum".

Si no es así, quizás tienes algo de experiencia con representaciones de álgebras de Lie. Creo que '$SL_2(\mathbb{R})$'.