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Notación de localización en Hartshorne

Esta es una pregunta sobre la notación en la geometría algebraica de Hartshorne. Según mi entendimiento $k[x_0,\cdots,x_n]_{(x_i)}$, (ver por ejemplo, pág. 18), consta de los elementos de grado cero en la localización de $k[x_0,\cdots,x_n]$ por el % ideal primer $(x_i)$. Es decir, denominadores deben pertenecer al complemento de $(x_i)$. ¿Por qué es $g/x_i^N$ $k[x_0,\cdots,x_n]_{(x_i)}$, $g \in k[x_0,\cdots,x_n]$ elemento (véase por ejemplo la parte inferior de la página 18)?

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Andrew Puntos 7942

La notación es muy confuso, pero al menos podemos generalmente la figura hacia fuera de contexto.

La notación $k[x_1,\ldots,x_n]_{(x_i)}$ es equivalente a $k[x_1,\ldots,x_n][x_i^{-1}]_0$, es decir, la sub-anillo de grado $0$ elementos de la localización en el elemento $x_i.$ sí no simplemente indican la localización de la $k[x_1,\ldots,x_n]_{\frak p},$ donde $\frak p$$=\langle x_i\rangle $ es un alojamiento ideal, ni es simplemente la localización de la $k[x_1,\ldots,x_n][x_i^{-1}]$ en el conjunto multiplicativo generado por $x_i.$ Que es la razón por la $f\in S(Y)_{(x_i)}$ puede ser escrito $f=g_i/x_i^N$ $g_i$ tienen grado $N,$ donde $S(Y)$ es la homogeneidad de las coordenadas anillo mencionado en la página; $g_i$ $x_i^N$ ambos tienen un grado $N,$ significado $f$ tiene grado cero.

Si usted ha leído un libro como Shafarevich antes de esto, puede haber visto esta localización como "dehomogenization" de un polinomio homogéneo, y le ayuda a mantener esto en mente. Por ejemplo, para dehomogenize $f(x,y,z)=y^2z+xyz$ con respecto al $x,$ dividimos por $x^3$ ya que tiene un grado $3,$ llegar $$\dfrac{f(x,y,z)}{x^3}=\dfrac{y^2z+xyz}{x^3}=(\dfrac{y}{x})^2(\dfrac{z}{x})+(\dfrac{y}{x})(\dfrac{z}{x}).$$

Consideramos $\dfrac{y}{x},\dfrac{z}{x}$ como coordenadas en $\Bbb A_x^2$ donde $\Bbb A_x^2$ es un estándar abierto subconjunto de $\Bbb P^2,$ donde la variedad original vivido, y, a continuación, este dehomogenization de $f$ con respecto al $x$ cortes locales de la variedad proyectiva en este gráfico abiertas. (Tenga en cuenta que el dehomogenization no necesitan ser homogéneos. Tenemos una variedad afín aquí!)

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Tasha Puntos 28

Lo puedo decir, la notación $k[x_0,\ldots,x_n]_{(x_i)}$: el grado cero parte de la localización del anillo polinómico en (el sistema multiplicativo generado) $x_i$, mientras que Hartshorne escribiría $k[x_0,\ldots,x_n]_{((x_i))}$ en el sentido de los elementos de grado cero en la localización por el % ideal de $(x_1)$. Ver cómo escribe $k[x_0,\ldots,x_n]_{((0))}$, por ejemplo.

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