Sobre el caso de igualdad de las desigualdades de Hölder y Minkowski

Question

Estoy siguiendo el libro Medida e integral de Richard L. Wheeden y Antoni Zygmund. Este es el problema 4 del capítulo 8.

Considere $E\subseteq \mathbb{R}^n$ un conjunto medible. A continuación, todas las integrales se toman sobre $E$ , $1/p + 1/q=1$ con $1\lt p\lt \infty$ .

Estoy tratando de demostrar que $$\int \vert fg\vert =\Vert f \Vert_p\Vert g \Vert_q$$ si y sólo si $\vert f \vert^p$ es múltiplo de $\vert g \vert^q$ casi en todas partes.

Para ello, quiero considerar los siguientes casos: si $\Vert f \Vert_p=0$ o $\Vert g \Vert_q=0$ hemos terminado. Entonces supongamos que $\Vert f \Vert_p\ne 0$ y $\Vert g \Vert_q\ne 0$ . Si $\Vert f \Vert_p=\infty$ o $\Vert g \Vert_q=\infty$ Hemos terminado (espero). Si $0\lt\Vert f \Vert_p\lt\infty$ y $0\lt\Vert g \Vert_q\lt\infty$ Proceda de la siguiente manera.

Cuando probamos la desigualdad de Hölder, utilizamos que para $a,b\geq 0$ $$ab\leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q},$$ donde la igualdad se mantiene si y sólo si $b=a^{p/q}$ . Explícitamente $$\int\vert fg \vert\leq \Vert f \Vert_p \Vert g \Vert_q \int\left( \frac{\vert f \vert^p}{p\Vert f \Vert_p^p} + \frac{\vert g \vert^q}{q\Vert g \Vert_q^q}\right)=\Vert f \Vert_p \Vert g \Vert_q.$$ A partir de aquí, vemos que la igualdad en la desigualdad de Hölder se mantiene si $$\frac{\vert fg \vert}{\Vert f \Vert_p \Vert g \Vert_q}=\frac{\vert f \vert^p}{p\Vert f \Vert_p^p} + \frac{\vert g \vert^q}{q\Vert g \Vert_q^q}, \text{ a.e.}$$ si $$\frac{\vert g \vert}{\Vert g \Vert_q}=\left( \frac{\vert f \vert}{\Vert f \Vert_p} \right)^{p/q},\text{ a.e.}$$ si $$\vert g \vert^q\cdot \Vert f \Vert_p^p=\vert f \vert^p \cdot \Vert g \Vert_q^q,\text{ a.e.}$$ Q.E.D. Pero, asumiendo que $\Vert f \Vert_p\ne 0$ y $\Vert g \Vert_q\ne 0$ ¿Qué hay de cuando $\Vert f \Vert_p=\infty$ o $\Vert g \Vert_q=\infty$ ? ¿Cómo puedo hacer frente a ello?

En el caso de la desigualdad de Minkowski, supongamos que la igualdad se mantiene y que $g\not \equiv 0$ (y luego $\left( \int \vert f+g \vert^p\right)\ne 0$ ). Tengo que demostrar que $\Vert f \Vert_p$ es múltiplo de $\Vert g \Vert_q$ casi en todas partes. Puedo reducir al "caso de igualdad de Hölder". Puedo obtener $$\vert f \vert^p=\left( \int \vert f+g \vert^p\right)^{-1}\Vert f \Vert_p^p\vert f+g \vert^p$$ $$\vert g \vert^p=\left( \int \vert f+g \vert^p\right)^{-1}\Vert g \Vert_p^p\vert f+g \vert^p$$ en casi todas partes, pero de nuevo, utilizando la finitud y la no-cercanía de $\Vert f \Vert_p$ y $\Vert g \Vert_p$ .

Answer 1

A petición de leo pongo mi comentario como respuesta.

Tu tratamiento de los casos de igualdad de las desigualdades de Hölder y Minkowski está perfectamente bien y limpio. Hay una pequeña errata cuando escribes que $\int|fg| = \|f\|_p\|g\|_q$ si y sólo si $|f|^p$ es una constante de tiempos de $|g|^q$ casi en todas partes (se escribe el $p$ -norma de $f$ y el $q$ -norma de $g$ en su lugar).

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El caso en el que cualquiera de los dos $\|f\|_p$ o $\|g\|_q$ (o ambos) son infinitos no es parte de este ejercicio y simplemente es un error. Se puede trisecar $E = F \cup G \cup H$ en conjuntos medibles disjuntos de medida positiva, tomar $f$ no $p$ -integrable en $F$ y cero en $G$ , toma $g$ no $q$ -integrable en $G$ y cero en $F$ y elija $fg$ no integrable en $H$ . Entonces ciertamente ningún poder de $|f|$ es un múltiplo constante de una potencia de $|g|$ y viceversa, aunque la igualdad se mantiene en la desigualdad de Hölder.

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En el excelente libro de Steele se ofrece un buen "resumen de pizarra" del caso de la igualdad (para secuencias finitas) La clase magistral de Cauchy-Schwarz . Dejemos que $a = (a_1,\ldots,a_n) \geq 0$ y $b = (b_1, \ldots, b_n) \geq 0$ y que $\hat{a}_i = \dfrac{a_i}{\|a\|_p}$ y $\hat{b}_i = \dfrac{b_i}{\|b\|_q}$ . Entonces su argumento queda subsumido en el diagrama (con una desafortunada errata en la esquina superior derecha-no $p$ y $q$ de las raíces allí):

Imitando esto para las funciones, escribamos $\hat{f} = \dfrac{|f|}{\|f\|_p}$ y $\hat{g} = \dfrac{|g|}{\|g\|_q}$ (suponiendo, por supuesto, que $\|f\|_p \neq 0 \neq \|g\|_q$ ), por lo que $\int \hat{f}\vphantom{f}^p = 1$ y $\int \hat{g}^q =1$ y así su argumento se convierte en $$ \begin{array}{ccc} \int |fg| = \left(\int|f|^p\right)^{1/p} \left(\int|g|^q\right)^{1/q} & & |f|^p = |g|^q \frac{\|f\|_{p}^p}{\|g\|_{q}^q} \text{ a.e.}\\ \Updownarrow\vphantom{\int_{a}^b} & & \Updownarrow \\ \int \hat{f}\,\hat{g} = 1 & & \hat{f}\vphantom{f}^p = \hat{g}^q \text{ a.e.} \\ \Updownarrow\vphantom{\int_{a}^b} & & \Updownarrow \\ \int \hat{f}\,\hat{g} = \frac{1}{p} \int \hat{f}\vphantom{f}^p + \frac{1}{q} \int \hat{g}^q & \qquad \iff \qquad & \hat{f}\,\hat{g} = \frac{1}{p} \hat{f}\vphantom{f}^p + \frac{1}{q} \hat{g}^q \text{ a.e.} \end{array} $$

Te sugiero que dibujes un diagrama similar para el caso de la igualdad de la desigualdad de Minkowski.

Answer 2

Añadiré algunos detalles sobre la desigualdad de Minkowski (esta pregunta es la referencia canónica de Math.SE para los casos de igualdad, pero casi todo se refiere a la desigualdad de Hölder).

La prueba estándar de la desigualdad de Minkowski comienza con $$ \begin{align*} \int |f+g|^p &\le \int |f||f+g|^{p-1} + \int |g||f+g|^{p-1} \\ &\le \|f\|_p \| |f+g|^{p-1}\|_q + \|g\|_p \| |f+g|^{p-1}\|_q \end{align*} $$ donde $q$ es el exponente conjugado a $p$ . Esto se simplifica a $\|f+g\|_p^p \le (\|f\|_p+\|g\|_p) \|f+g\|_p^{p-1} $ como se quería. Por lo tanto, si la igualdad se mantiene, también se mantiene en los dos casos de la desigualdad de Hölder anteriores. Por tanto, $|g|^p$ y $|f|^p$ son ambos múltiplos constantes de $(|f+g|^{p-1})^q$ lo que los convierte en vectores colineales en $L^1$ .

Además, el caso de la igualdad requiere $|f+g| = |f|+|g|$ lo que significa que los signos (o argumentos, en el caso complejo) de $f$ y $g$ deben coincidir a.e. cuando las funciones no son nulas. Conclusión: $f$ y $g$ son vectores colineales en $L^p$ .

Answer 3

Quiero añadir algunos detalles en torno a la respuesta de "community wiki". Esto es esencialmente una respuesta a mi propia pregunta .

Descargo de responsabilidad: no he encontrado estos detalles en ningún sitio. Lo que va a leer es el resultado de mi propia (falta de) comprensión del tema. No dudes en comentar si algo te parece poco claro/equivocado.

Dejo de lado la precaución de "casi todo".

Hay reales (no se desvanecen los dos) $s$ y $t$ tal que

$s|f(x)|^p=t|g(x)|^p$ (1)

Y hay funciones $a$ y $b$ tomando valores en los reales positivos

$a(x)f(x)=b(x)g(x)$ (2)

Tengo que demostrar que existen constantes $\alpha$ y $\beta$ sin que ambos desaparezcan, de modo que $\alpha f(x)=\beta g(x)$ por cada $x$ .

Caso $s=0$

En ese caso $g(x)=0$ y tenemos $\alpha f(x)=\beta g(x)$ con $\alpha=0$ y $\beta=1$ .

Caso $s\neq 0$

Utilizando el $p$ -raíz, tenemos

$|f(x)|=\lambda |g(x)|$

con $\lambda=\sqrt[p]{t/s}$ . En particular, $a(x)$ y $b(x)$ son ambas no evanescentes.

Caso $s\neq 0$ , $g(x)\neq 0$

Tomando el módulo en (2), $a(x)\lambda|g(x)|=b(x)|g(x)|$ para que

$a(x)f(x)=\lambda a(x)g(x)$

y por lo tanto $f(x)=\lambda g(x)$ .

Concluyo que, si hay puntos en los que $g(x)\neq 0$ tenemos que elegir las constantes $(\alpha,\beta)$ bajo la forma ( \alpha , \lambda\alpha ).

Ahora pasamos al último caso:

Caso $s\neq 0$ , $g(x)=0$

La ecuación (1) es la siguiente

$s|f(x)|=0$

con $s\neq 0$ . Así, $f(x)=0$ y cualquier $\alpha, \beta$ funciona.

QED

Si lees en francés, escribí muchos más detalles aquí .