Si $G'/G''$ y $G''/G'''$ son cíclicos luego $G''=G'''$

Question

Demostrar que, si $G'/G''$ y $G''/G'''$ son ambos cíclico y $G''=G'''$.

Estaba esperando que esta prueba sería similar a la prueba de

$$G/Z(G)~~~~ \text{is cyclic} \Rightarrow G~~~ \text{is abelian}$$

He intentado de esa manera pero pude llegar a ninguna parte.

Cualquier ayuda sería apreciada.

Gracias.

Answer 1

Por el tercer teorema de isomorfismo, podemos muy bien suponer que los $G''' = 1$. Así se nos da ese $G'/G''$ $G''/G''' = G''$ son cíclicos, y queremos demostrar que las $G'' = 1$, o más bien a la $G'$ es abelian.

Vamos a utilizar el hecho de que para un subgrupo $H$$G$, el cociente $N_G(H)/C_G(H)$ es isomorfo a un subgrupo de $\operatorname{Aut}(H)$.

Desde $G''$ es normal, tenemos $G = N_G(G'')$. A continuación, por el hecho de que acabamos de mencionar, $G/C_G(G'')$ es isomorfo a un subgrupo de $\operatorname{Aut}(G'')$. Pero $G''$ es cíclico, $\operatorname{Aut}(G'')$ es un grupo abelian. Por lo tanto $G/C_G(G'')$ es abelian, y por lo $G' \subset C_G(G'')$. Pero esto significa que $G'' \subset Z(G')$.

A partir de aquí la prueba se deduce del hecho de

$$ N \subset Z(G), ~ G/N ~~ \text{cyclic} \Rightarrow G~~ \text{is abelian} ,$$

la prueba de que es básicamente la misma que la prueba de la realidad en torno $G/Z(G)$ mencionó.