Probabilidad en una moneda de los bancos

Question

Independiente de lanzamientos de una moneda que cae en la cabeza con una probabilidad de p están hechos.

¿Cuál es la probabilidad de que el patrón de T, H, H, H se produce antes de que el patrón de H, H, H, H?

Sugerencia: ¿Cómo puede el patrón de H, H, H, H se producen por primera vez?

mi enfoque es $\sum_{n=0}^\infty (1-p^4)^n(1-p)^3$ yo $$\frac {(1-p)p^3}{1-(1-p^4)}$$

Sin embargo, la respuesta sugerida es

Estoy equivocado? ¿Cuál es la lógica detrás de las respuestas que se sugieren?

Otra respuesta que he encontrado en línea es: Nuestra primera observación es que para cualquier 0 < p < 1 eventualmente veremos el patrón (H, H, H, H). Supongamos que el primero de esos patrón empieza en el enésimo flip. Si n > 1, entonces la n − 1 flip no se puede H desde luego la primera a (H, H, H, H) el patrón habría comenzado antes de la enésima flip. Por tanto, en este caso la n − 1 flip es necesariamente T, y comenzando con la n − 1 flip vemos el patrón (T, H, H, H, H). En esa secuencia, (T, H, H, H) aparece antes de que (H, H, H, H). Resumiendo, (H, H, H, H) sólo puede aparecer antes (T, H, H, H) si se inicia de inmediato en el n = 1 de la flip, que es si todos los cuatro primeros lanzamientos son los jefes. La probabilidad de que se $p^4$.

Answer 1

Con el fin de obtener $4$ consecutivos Cabezas, usted necesita para obtener $3$ consecutivos Cabezas. Sin embargo, conseguir $3$ consecutivos cabezas de garantizar que la primera secuencia, si el último lanzamiento antes de la $3$ H $T$, y el segundo si se $H$. Así que a menos que su $3$ H aparece en inicio, usted sabe que está hecho. Ahora la Única forma de $HHHH$ a ocurrir antes de que THHH es empezar con $4$ consecutivos H. se Puede ver por qué esto es así?

Agregó

Vamos a probar que si usted tiene una T en sus primeros 4 tiros, luego THHH aparecerá en primer lugar. De hecho, como se menciona anteriormente, consiguiendo cuatro consecutivas $H$ requiere para conseguir $3$ consecutivo $H$ primera. Supongamos que usted ha encontrado su primer $HHHH$ secuencia en algún lugar de la cadena. Mira el tiro antes de la primera $H$. O es $T$, en cuyo caso la secuencia de $THHH$ apareció por primera vez, o no existe un tiro porque la primera $H$ fue su primer tiro. (No puede ser un $H$ de lo contrario su $HHHH$ secuencia no sería la primera en darse.) Así que la única manera para $HHHH$ a venir primero es empezar con ella, que tiene probabilidad de $p^4$. Así que la respuesta que buscamos es $1-p^4$

Answer 2

Aquí está una prueba rigurosa en cuanto a por qué la respuesta es $1-p^4$

Sea E = evento de que patrón THHH se produce antes de HHHH y A = evento de que a continuación 3 volteretas son jefes

$P(E)=P(E|T)P(T)+P(E|H)P(H)$

$P(E|T)=P(E|T\cap A)P(A)+P(E|T\cap A^c)P(A^c)$

$P(E|T)=p^3+P(E|T)(1-p^3)$

$\Rightarrow P(E|T)=1$

Hacer algo similar para $P(E|H)$, obtenemos $P(E|H)=P(E|T)(1-p^3)$

$\Rightarrow P(E)=1-p^4$