Fórmula general para la división polinómica

Question

No hay una "fórmula" para multiplicar polinomios, pero hay uno para la división? Probablemente hay, cualquiera podría deducir una con tiempo suficiente. ¿Sabe usted una fórmula o podría proporcionar? Por la fórmula quiero decir, dado $f=\sum^m a_k x^k,g=\sum^n b_k x_k$, una fórmula para $q,r$$f=gq+r$.

(Si hay alguna confusión, no, esta no es una pregunta sobre cómo hacer la división polinómica.)

Edit: Ya que parece que hay mucha confusión acerca de lo que quiero decir, he aquí un ejemplo: Vamos a $m=4$, $n=2$, $a_m=b_n=1$. A continuación, $f/g=q+r/g$ donde

$q=x^2+(a_3-b_1)x+(a_2-b_0-a_3b_1+b_1^2)$

$r=(a_0-a_2b_0+b_0^2+a_3b_0b_1-b_0b_1^2)+(a_1-a_3b_0-a_2b_1+2b_0b_1+a_3b_1^2-b_1^3)x$

Esta es una fórmula general: la División de un general monic el cuarto grado por un general de monic cuadrática siempre tienen esta forma.

Answer 1

Esta generalización es inútil para la aplicación, pero si tenemos $f/g$ $$M(x)=\frac{\sum_{n=0}^{l=m+v}{{a_n}x^{n}}}{\sum_{n=0}^{l=m}{b_n}x^{n}}=\frac{a_0+a_1x+a_2{x^2}...+a_{m+v}{x^{m+v}}}{b_0+b_1x+b_2x^2...+b_mx^m}$ $ Acaba de tomar la serie de taylor en el infinito. Sustituto $1/x$ $x$ luego se multiplica el numerador y el denominador por $\frac{1}{x^{m+v}}$ y el factor del denominador por $x^v$ a obtener. $$\left(\frac{1}{x^v}\right)\frac{a_0+a_1x+a_2{x^2}...+a_{m+v}{x^{m+v}}}{b_0+b_1x+b_2x^2...+b_mx^m}=\left(\frac{1}{x^v}\right)L(x)$$

Donde $$L(x)=\frac{a_{m+v}+a_{m+v-1}x+a_{m+v-2} {x^2}....+a_{0}{x^{m+v}}}{b_{m}+b_{m-1}x+b_{2}x^2...+b_0x^{m}}$$

Donde v es la diferencia entre el exponente más alto de los grados de a y b.

Entonces si tomamos la serie de taylor de $L(x)$, por lo que la serie converge hacia el infinito y substiute $\frac{1}{x}$ todos los $x$'s. $${x^v}\left(L(0)+{1!}L^{1}(0){\frac{1}{x}}+\frac{1}{2!}L^{2}(0){\frac{1}{x^2}}..+\frac{1}{v!}L^{v}(0){\frac{1}{x^v}}\right)$$ $$L(0){x^v}+{1!}L^{1}(0){x^{v-1}}+\frac{1}{2!}L^{2}(0){x^{v-2}}..+\frac{1}{v!}L^{v}(0)$$ Así que esta puede ser generalizado como $$q(x)=\left(\sum_{i={-v}}^{0}\frac{L^{i+v}(0){x^{-i}}}{\left(i+v\right)!}\right)$$

El resultado de este quotoient podemos conseguir...

$$\left(\frac{a_{m+v}}{b_m}\right)x^v+\left(\frac{a_{m+v-1}b_{m-1}}{b_m}+\frac{a_{m+v}b_{m-1}}{{b_m}^2}\right)x^{v-1}+\frac{1}{2!}\left(\frac{2{a_{m+v-2}}}{b_m}+\frac{{2}{a_{m+v}}{b_{m-1}}^{2}}{{b_{m}}^{3}}-\frac{{2}{a_{m+v}}{b_{m-2}}}{{b_{m}}^{2}}+\frac{{2}{a_{m+v-1}}{b_{m-1}}}{{b_{m}}^{2}}\right)x^{v-2}+\frac{1}{3!}...$$

Ahora todo lo que tienes que hacer es tomar la fórmula de división para el resto $$\frac{a(x)}{b(x)}={q(x)}+\frac{r(x)}{b(x)}$$ $${a(x)}={q(x)}{b(x)}+{r(x)}$$ $${a(x)}-{q(x)}{b(x)}={r(x)}$$ Pero no puedo ampliar el resto porque es demasiado tedioso y complicado.

Así que la forma completa es.. $$M(x)=\left(\sum_{i={-v}}^{0}\frac{L^{i+v}(0){x^{-i}}}{\left(i+v\right)!}\right)+\frac{\sum_{n=0}^{l=m+v}{{a_n}x^{n}}-\sum_{i={-v}}^{0}\frac{L^{i+v}(0){x^{-i}}}{\left(i+v\right)!}{\sum_{n=0}^{l=m}{b_n}x^{n}}}{\sum_{n=0}^{l=m}{b_n}x^{n}}$$ No es bonita, pero es una fórmula.

Answer 2

No estoy seguro si esto será suficiente. Era curioso para buscar una fórmula para la división de $n$ polinomios de grado del th de un factor lineal. Esta es la fórmula, donde $n$ es el grado de $P$. Claramente no a flexible de un resultado. $$P(x)/(x+c)=\sum^n_{i=1}(\sum^i_{j=1}(-c)^{i-j} a_{n-j+1}))x^{n-j}+P(-c)/(x+c)$$

cada término $a_{n-j+1}$ se refiere a un coeficiente de $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+. . .+a_1x+a_0$

Answer 3

División de polinomios es equivalente a la deconvolución el uso de un filtro IIR con un impulso de entrada, donde 'filtro' se entiende en el procesamiento de la señal de sentido y no de la teoría de conjuntos sentido. (Si no hay ningún resto, entonces el filtro IIR se convierte en el filtro FIR.)

Deje $f = a_0 x^{N-1} + a_i x^{N-2} + \cdots a_{N-1}x^0$, y, asimismo, para $g$.Para $\mathbf{b}\in \mathbb{R}^M$ $\mathbf{a} \in \mathbb{R}^N$ tal que $a_0=1$, la división de polinomios es dada por

$$ y_n = \sum_{k=0}^{M-1}{ \delta_{n-k} b_k } - \sum_{i=1}^{\min(n,N-1)} y_{n-i} a_i $$

donde

$$ \delta_k = \begin{cases} 1, & k = 0 \\ 0, & k \neq 0 \end{casos} $$

El primer $M-N+1$ términos de ${y_n}$ serán los coeficientes del cociente y el resto de los no-cero términos serán los coeficientes del resto.