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Estimación de la integral

Esta pregunta es más una cuestión específica relativa a la http://mathoverflow.net/questions/69900/asymptotics-for-the-number-of-ways-to-sum-primes-such-that-the-sum-is-n

Estoy buscando un límite inferior (que es apretado como sea posible) para la integral n2ex/logxdx. por desgracia, ex/logx no es integrable, entonces uno tiene que enlazar primero y luego evalute la integral de la limitada función. Por ejemplo, n2ex/logxn2e3xdx=O(n23e3n)

La cota obtenida anteriormente es inferior a la de en/logn, por lo que debe encontrar un mejor destino a la función integrada, o tal vez utilizar otro (desconocido para mí) truco para acotar la declaró integral.

Cualquier sugerencia se agradece!

7voto

Eric Naslund Puntos 50150

Puedo dar lo mejor que la superior y límites inferiores. Podemos encontrar una precisa asintótica.

Propuesta: Reclamo \inftyn2exp(xlogx)2nlognexp(nlogn)asn\rightarrow.

Prueba: Que f(x)=2xlogxexp(xlogx) be the claimed asymptotic function. Then we need to prove that the limit limnn2exp(xlogx)f(n) is equal to 1.

Para ello, aplicamos la regla de l'Hopitals. Informática encontramos f(x)=1xlogx(logx+1)exp(xlogx) +2xlogxexp(xlogx)(12logxx(1logx1(logx)2)). Notice that we can rewrite this as f(n)=(1+o(1))exp(nlogn).

El Teorema fundamental del cálculo nos dice que ddnn2exp(xlogx)dx=exp(nlogn). Hence l'Hopitals rule implies the original limit is 1 y el resultado está comprobado.

3voto

Did Puntos 1

Si uno escribe In de la integral de 2 n, claro nonasymptotic son exp((n1)/log(n))In(n2)exp(n/log(n)), cada n3. En particular, log(In)=(1+o(1))n/log(n).

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