Estimación de la integral

Question

Esta pregunta es más una cuestión específica relativa a la http://mathoverflow.net/questions/69900/asymptotics-for-the-number-of-ways-to-sum-primes-such-that-the-sum-is-n

Estoy buscando un límite inferior (que es apretado como sea posible) para la integral $\int_{2}^n e^{\sqrt{x/\log{x}}} dx.$ por desgracia, $e^{\sqrt{x/\log{x}}}$ no es integrable, entonces uno tiene que enlazar primero y luego evalute la integral de la limitada función. Por ejemplo, $$\int_{2}^n e^{\sqrt{x/\log{x}}} \geq \int_{2}^n e^\sqrt[3]{x} dx = O(n^{\frac{2}{3}}e^{\sqrt[3]{n}}) $$

La cota obtenida anteriormente es inferior a la de $e^{\sqrt{n/\log{n}}}$, por lo que debe encontrar un mejor destino a la función integrada, o tal vez utilizar otro (desconocido para mí) truco para acotar la declaró integral.

Cualquier sugerencia se agradece!

Answer 1

Puedo dar lo mejor que la superior y límites inferiores. Podemos encontrar una precisa asintótica.

Propuesta: Reclamo \infty$ $$ \int_2^n \exp \left(\sqrt{\frac{x}{\log x}}\right)\sim 2\sqrt{n\log n}\exp\left(\sqrt{\frac{n}{\log n}}\right)$$ as $n\rightarrow.

Prueba: Que $$f(x)=2\sqrt{x\log x}\exp\left(\sqrt{\frac{x}{\log x}}\right)$$ be the claimed asymptotic function. Then we need to prove that the limit $$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\int_2^n \exp \left(\sqrt{\frac{x}{\log x}}\right)}{f(n)}$$ is equal to $1$.

Para ello, aplicamos la regla de l'Hopitals. Informática encontramos $$f^{'}(x)=\frac{1}{\sqrt{x\log x}}\left(\log x+1\right)\exp\left(\sqrt{\frac{x}{\log x}}\right)$$ $$+2\sqrt{x\log x}\exp\left(\sqrt{\frac{x}{\log x}}\right)\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\log x}{x}}\left(\frac{1}{\log x}-\frac{1}{\left(\log x\right)^{2}}\right)\right).$$ Notice that we can rewrite this as $% $ $f^{'}(n)=\left(1+o(1)\right)\exp\left(\sqrt{\frac{n}{\log n}}\right).$

El Teorema fundamental del cálculo nos dice que $$\frac{d}{dn}\int_{2}^{n}\exp\left(\sqrt{\frac{x}{\log x}}\right)dx=\exp\left(\sqrt{\frac{n}{\log n}}\right).$$ Hence l'Hopitals rule implies the original limit is $1$ y el resultado está comprobado.

Answer 2

Si uno escribe $I_n$ de la integral de $2$ $n$, claro nonasymptotic son $$ \exp\left(\sqrt{(n-1)/\log(n)} \right) \le I_n\le (n-2)\exp\left(\sqrt{n/\log(n)}\right), $$ cada $n\ge3$. En particular, $\displaystyle\log\left(I_n\right)=(1+o(1))\sqrt{n/\log(n)}$.