Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js

6 votos

Estimación de la integral

Esta pregunta es más una cuestión específica relativa a la http://mathoverflow.net/questions/69900/asymptotics-for-the-number-of-ways-to-sum-primes-such-that-the-sum-is-n

Estoy buscando un límite inferior (que es apretado como sea posible) para la integral n2ex/logxdx. por desgracia, ex/logx no es integrable, entonces uno tiene que enlazar primero y luego evalute la integral de la limitada función. Por ejemplo, n2ex/logxn2e3xdx=O(n23e3n)

La cota obtenida anteriormente es inferior a la de en/logn, por lo que debe encontrar un mejor destino a la función integrada, o tal vez utilizar otro (desconocido para mí) truco para acotar la declaró integral.

Cualquier sugerencia se agradece!

7voto

Eric Naslund Puntos 50150

Puedo dar lo mejor que la superior y límites inferiores. Podemos encontrar una precisa asintótica.

Propuesta: Reclamo \inftyn2exp(xlogx)2nlognexp(nlogn)asn\rightarrow.

Prueba: Que f(x)=2xlogxexp(xlogx) be the claimed asymptotic function. Then we need to prove that the limit lim is equal to 1.

Para ello, aplicamos la regla de l'Hopitals. Informática encontramos f^{'}(x)=\frac{1}{\sqrt{x\log x}}\left(\log x+1\right)\exp\left(\sqrt{\frac{x}{\log x}}\right) +2\sqrt{x\log x}\exp\left(\sqrt{\frac{x}{\log x}}\right)\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\log x}{x}}\left(\frac{1}{\log x}-\frac{1}{\left(\log x\right)^{2}}\right)\right). Notice that we can rewrite this as % f^{'}(n)=\left(1+o(1)\right)\exp\left(\sqrt{\frac{n}{\log n}}\right).

El Teorema fundamental del cálculo nos dice que \frac{d}{dn}\int_{2}^{n}\exp\left(\sqrt{\frac{x}{\log x}}\right)dx=\exp\left(\sqrt{\frac{n}{\log n}}\right). Hence l'Hopitals rule implies the original limit is 1 y el resultado está comprobado.

3voto

Did Puntos 1

Si uno escribe I_n de la integral de 2 n, claro nonasymptotic son \exp\left(\sqrt{(n-1)/\log(n)} \right) \le I_n\le (n-2)\exp\left(\sqrt{n/\log(n)}\right), cada n\ge3. En particular, \displaystyle\log\left(I_n\right)=(1+o(1))\sqrt{n/\log(n)}.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X