¿Cómo resolver esta ecuación logarítmica mediante la manipulación algebraica?

Question

Yo estaba trabajando a través de un Arte de Resolver el Problema, libro cuando me encontré con una muy frustrante problema.

Resolver la ecuación de $\log_{2x}216=x$ donde $x\in \mathbb{R}$.

Entiendo cómo encontrar la respuesta por parte de la inspección (todo lo que tienes que hacer es mirar fijamente por unos segundos), pero estoy tratando de averiguar cómo resolver algebraicamente. Cada vez que intente manipular el problema, yo tampoco encuentro a mí mismo correr en círculos, o puedo crear algunos complicado de expresión que es aún más difícil de tratar que el problema original. Perdóname si esta es una pregunta muy fácil - sólo estoy completamente perdido aquí. Gracias!

Answer 1

$$ x = \log_{2x}{216} = \frac{\log{216}}{\log{2x}} = \frac{3\log{2}+3\log{3}}{\log{2}+\log{x}} = 3\frac{1+\log_2{3}}{1+\log_2{x}} $$

Pero luego multiplicando arriba da $$ x(1+\log_2{x}) = 3(1+\log_2{3}). $ $ del lado izquierdo es una función creciente del $x$, por lo que sólo tiene una solución, que obviamente es $x=3$.

Answer 2

Podemos reescribir la ecuación como

$$216=(2x)^x$$

En el caso general $x^x=c$ requiere la función de #% de %#% de lambert para resolver. Por lo que es razonable tener más esperanzas y tratar de factorizar el número en sus factores primos,

$W$$

$$216=2^3 3^3$$

Entonces se hace claro que $$216=(2(3))^3$. Esto puede ser la única solución porque $x=3$ es estrictamente decreciente y estrictamente es aumento de $\log_{2x} 216=\frac{\ln 216}{\ln 2x}$.

Answer 3

En cuanto a uso de inspección, creo que esto facilita la inspección. $$\ln_{2x}216=x \Rightarrow \ln 6^3 = x \ln 2x \Rightarrow 3 \ln 6 = x \ln2x $$

Si adivinas que son los factores lineales iguales ($x=3$) ver inmediatamente los factores logarítmicos son iguales.