¿Distribución de $Y = \sin X$ cuando $X$ es normal?

Question

Asumir se distribuye normalmente $X$: $X\sim N(\mu,\sigma)$

¿Cuál es la distribución de los $Y = \sin X$?

Creo que deberíamos empezar por $F_Y(y)=P(\sin X < y)$.

Pero, ¿cómo seguir?

Answer 1

Esta no es una respuesta de por sí, sino más bien una respuesta a @user64494 que ha publicado una solución (ver comentarios anteriores) el uso de Arce código. Por desgracia, esta respuesta es demasiado largo para caber en la sección de comentarios de arriba, así que estoy usando el cuadro de respuesta, si que está bien.

User64494 los estados que la solución es (usando Maple):

 with(Statistics):X:=RandomVariable(Normal(mu,sigma)):Y:=sin(X):PDF(Y,t);

que produjo la solución para el pdf $f(t)$:

$$f=\frac{\sqrt{2} \exp \left(-\frac{\left(\sin ^{-1}(t)-\mu \right)^2}{2 \sigma ^2}\right)}{\left(\sqrt{\pi } \sigma \right) \sqrt{1-t^2}}$$

for $-1<t<1$. I was surprised to see a closed-form solution posted, since ... to the best of my knowledge ... a closed-form solution to the infinite sum required is not known to exist.

Monte Carlo check

To see that the posted Maple solution $f(t)$ is incorrect, simply compare a plot of the Maple solution $f(t)$ to the empirical pdf of $sin(X)$ when $X$~N($\mu$, $\sigma^2$), here with $\mu$ = $\pi$ and $\sigma = 2$:

In the above, the red curve is the Maple solution $f(t)$, and the blue curve is the empirical pdf. It appears clear that the posted Maple solution is in error.

(I'd be happy to post the code to generate the plot if anyone is interested.)

More pertinently, the posted Maple pdf solution $f(t)$ no se integra a la unidad sobre el dominio de apoyo.

Answer 2

Espero que le he entendido correctamente, entonces debería ser posible considerar la $\cos (x) = \sin(x+\pi/2)$ y hay diferentes appraoches aquí>>>, incluyendo el cálculo de los momentos.

Generalmente, sería absolutamente genial si se pudiera establecer un teorema que considera la $\cos$$\sin$, a continuación, a través de la toma de $e^{ix}=\cos(x)+i\sin (x)$. De hecho, casi no hay investigación que hizo en este, sin embargo.

Espero que esto ayude.