El grado de $ \sqrt {2} + \sqrt [3]{5}$ sobre $ \mathbb Q$

Question

Sé que el título es como mucho $6$ ya que $ \sqrt {2} + \sqrt [3]{5} \in \mathbb Q( \sqrt {2}, \sqrt [3]{5})$ que tiene un grado $6$ sobre $ \mathbb Q$ . Estoy tratando de construir un polinomio con raíz $ \sqrt {2} + \sqrt [3]{5}$ y los coeficientes en $ \mathbb Q$ de grado $6$ y luego mostrar que es irreducible sobre $ \mathbb Q$ .

Me las arreglé para encontrar que es una raíz del polinomio $x^6 - 6x^4 - 10x^3 +12x^2 - 60x +17$ . Aquí es donde me encuentro con algunos problemas. No sé cómo demostrar que esto es irreducible sobre $ \mathbb Q$ (o $ \mathbb Z$ ). El único criterio que hemos aprendido es el de Eisenstein, que claramente no se aplica aquí. ¿De qué otra manera puedo mostrar que el grado de este número sobre $ \mathbb Q$ es $6$ ?

Answer 1

Así es como puedes mostrar la irreductibilidad de tu polinomio, usando el mismo método que usé en el argumento que di en la referencia que @BillDubuque mencionó:

Primera forma $x^3-5$ el polinomio mínimo para $ \root3\of5 $ sobre $ \Bbb Q$ . Ahora piensa en ello como un polinomio sobre el dominio ideal principal $ \Bbb Z[ \sqrt2\ ,]$ . Sucede que $5$ sigue siendo primo allí, por lo que Eisenstein todavía se aplica, y este es el polinomio mínimo para $ \root3\of5 $ sobre la extensión. Por consiguiente, $(x- \sqrt2 )^3-5$ es todavía irreducible sobre $ \Bbb Z[ \sqrt2\ ,]$ y es el polinomio mínimo para $ \sqrt2 + \root3\of5 $ . Llamemos a esto polinomio $f(x)$ . En realidad es $x^3-3 \sqrt2x ^2+6x-5+2 \sqrt2 $ . Ahora toma el polinomio conjugado, llámalo $ \bar f$ que se obtiene al reemplazar $ \sqrt2 $ por $- \sqrt2 $ en $f$ dondequiera que aparezca. Finalmente, multiplicaos, y conseguid $f \bar f$ que resulta ser exactamente el polinomio sexual que calculaste.

Esto es claramente un $ \Bbb Q$ -polinomio que tiene $ \sqrt2 + \root3\of5 $ como una raíz. Pero también es un $ \Bbb Z[ \sqrt2\ ,]$ -polinomio y sabemos que su factorización en irreductibles allí, a saber $f \bar f$ . Y por la singularidad de la factorización allí, esta es la única factorización posible con coeficientes en $ \Bbb Z[ \sqrt2\ ,]$ . Pero un $ \Bbb Q$ -la factorización de tu polinomio también sería una $ \Bbb Z[ \sqrt2\ ,]$ -y ya tenemos uno de esos, y es único. Así que no hay factorización de tu polinomio sobre $ \Bbb Z$ o $ \Bbb Q$ .

Answer 2

1. Deje que $V$ ser el espacio vectorial de 6 dimensiones que consiste en todos los números de la forma $$a+b2^{1/2} + c5^{1/3} + d2^{1/2}5^{1/3} + e5^{2/3} + f2^{1/2}5^{2/3}$$ donde $a,b,c,d,e,f \in \Bbb Q$

2. Deje que $w = \sqrt2 + \sqrt [3]5$ . Los números $w^0, w^1, w^2, w^3, w^4, w^5$ son vectores de $V$ . Desde $V$ es de 6 dimensiones, estos 6 vectores se extienden $V$ o bien cualquiera de ellas puede expresarse como una combinación lineal de las otras. Tu clase de álgebra lineal de pregrado te enseñó cómo comprobar cuál es.

3. Si tu $6$ polinomios de tres grados eran reducibles, tendría algún factor $P$ de grado $d$ menos de $6$ decir $P(x) = x^d + Q(x)$ . Desde $P(w) = 0$ tienes $$w^d = -Q(w)$$ donde $Q$ tiene un título como máximo $d-1$ . Esto expresa $x^d$ en términos de $x^0, x^1, \ldots , x^{d-1}$ contradiciendo su hallazgo en el paso 2.