¿Está bien definido el producto de dos conjuntos si uno está vacío?

Question

Dejemos que $X$ sea un conjunto. ¿Qué es? $X\times \emptyset$ ¿se supone que significa? ¿Es sólo el conjunto vacío?

Answer 1

$X \times \emptyset = \emptyset$ . De hecho, si no tenemos $x \in X $ y $y \in \emptyset$ tal que $(x,y) \in X \times \emptyset$ . Pero $y \in \emptyset$ es imposible.

Answer 2

Y más se puede decir: un producto cartesiano es vacío si y sólo si uno de los dos factores es vacío.

Answer 3

Recordemos la definición de $A\times B$ : $z\in A\times B$ si y sólo si $z=\langle a,b\rangle$ donde $a\in A$ y $b\in B$ . Es decir $A\times B$ es el conjunto de todos los pares ordenados cuya primera coordenada está en $A$ y segundo en $B$ .

Si $B$ está vacío, entonces no hay pares ordenados $\langle a,b\rangle$ tal que $b\in\varnothing$ Por lo tanto $A\times\varnothing=\varnothing$ . Del mismo modo, $\varnothing\times B=\varnothing$ .